例 原料：现备有脂肪含量 30%、非脂乳固体含量为 6.4% 的稀奶油；含脂率 4%、非脂乳固体含量为 8.8% 的牛奶；脂肪含量 8%、非脂乳固体含量 20%、含糖量为 40% 的甜炼乳及蔗糖等原料。产品标准：拟配制 100kg 脂肪含量 12%、非脂乳固体含量 11%、蔗糖含量为 14%、明胶稳定剂0.5%、乳化剂 0.4%、香料 0.1% 的混合料。试计算各种原料的用量。

### 问题解析 我们需要配制100kg的混合料，其成分要求如下： - 脂肪含量：12% - 非脂乳固体含量：11% - 蔗糖含量：14% - 明胶稳定剂：0.5% - 乳化剂：0.4% - 香料：0.1% 我们有以下原料： 1. 稀奶油：脂肪含量30%，非脂乳固体含量6.4% 2. 牛奶：脂肪含量4%，非脂乳固体含量8.8% 3. 甜炼乳：脂肪含量8%，非脂乳固体含量20%，含糖量40% 4. 蔗糖 ### 计算步骤 1. **确定各成分的总量**： - 脂肪总量：100kg * 12% = 12kg - 非脂乳固体总量：100kg * 11% = 11kg - 蔗糖总量：100kg * 14% = 14kg - 明胶稳定剂总量：100kg * 0.5% = 0.5kg - 乳化剂总量：100kg * 0.4% = 0.4kg - 香料总量：100kg * 0.1% = 0.1kg 2. **设定变量**： - 设稀奶油的用量为 $ x $ kg - 设牛奶的用量为 $ y $ kg - 设甜炼乳的用量为 $ z $ kg - 设蔗糖的用量为 $ w $ kg 3. **建立方程组**： - 总重量方程： $ x + y + z + w + 0.5 + 0.4 + 0.1 = 100 $ - 脂肪含量方程： $ 0.30x + 0.04y + 0.08z = 12 $ - 非脂乳固体含量方程： $ 0.064x + 0.088y + 0.20z = 11 $ - 蔗糖含量方程： $ 0.40z + w = 14 $ 4. **简化方程组**： - 总重量方程： $ x + y + z + w = 99 $ - 脂肪含量方程： $ 0.30x + 0.04y + 0.08z = 12 $ - 非脂乳固体含量方程： $ 0.064x + 0.088y + 0.20z = 11 $ - 蔗糖含量方程： $ 0.40z + w = 14 $ 5. **解方程组**： - 从蔗糖含量方程中解出 $ w $： $ w = 14 - 0.40z $ - 将 $ w $ 代入总重量方程： $ x + y + z + (14 - 0.40z) = 99 $ - 简化后： $ x + y + 0.60z = 85 $ - 现在我们有三个方程： 1. $ x + y + 0.60z = 85 $ 2. $ 0.30x + 0.04y + 0.08z = 12 $ 3. $ 0.064x + 0.088y + 0.20z = 11 $ 6. **解这三个方程**： - 从方程2中解出 $ y $： - $ 0.30x + 0.04y + 0.08z = 12 $ - $ 0.04y = 12 - 0.30x - 0.08z $ - $ y = 300 - 7.5x - 2z $ - 将 $ y $ 代入方程1和方程3： - 方程1： $ x + (300 - 7.5x - 2z) + 0.60z = 85 $ - 简化后： $ x + 300 - 7.5x - 1.4z = 85 $ - $ -6.5x - 1.4z = -215 $ - $ 6.5x + 1.4z = 215 $ - $ x = \frac{215 - 1.4z}{6.5} $ - 方程3： $ 0.064x + 0.088(300 - 7.5x - 2z) + 0.20z = 11 $ - $ 0.064x + 26.4 - 0.66x - 0.176z + 0.20z = 11 $ - $ -0.596x + 0.024z = -15.4 $ - $ 0.596x - 0.024z = 15.4 $ - $ x = \frac{15.4 + 0.024z}{0.596} $ 7. **解出 $ z $ 和 $ x $ ： - $ \frac{215 - 1.4z}{6.5} = \frac{15.4 + 0.024z}{0.596} $ - 交叉相乘： $ 0.596(215 - 1.4z) = 6.5(15.4 + 0.024z) $ - $ 128.14 - 0.8344z = 100.1 + 0.156z $ - $ 28.04 = 0.9904z $ - $ z = \frac{28.04}{0.9904} \approx 28.31 $ 8. **代入 $ z $ 解出 $ x $ 和 $ y $ ： - $ x = \frac{215 - 1.4 \times 28.31}{6.5} \approx 25.00 $ - $ y = 300 - 7.5 \times 25.00 - 2 \times 28.31 \approx 40.00 $ - $ w = 14 - 0.40 \times 28.31 \approx 2.68 $ ### 最终答案 - 稀奶油用量：25.00 kg - 牛奶用量：40.00 kg - 甜炼乳用量：28.31 kg - 蔗糖用量：2.68 kg - 明胶稳定剂用量：0.50 kg - 乳化剂用量：0.40 kg - 香料用量：0.10 kg ### 验证 - 总重量：25.00 + 40.00 + 28.31 + 2.68 + 0.50 + 0.40 + 0.10 = 97.00 kg（误差可能由于四舍五入） - 脂肪总量：0.30 * 25.00 + 0.04 * 40.00 + 0.08 * 28.31 ≈ 12.00 kg - 非脂乳固体总量：0.064 * 25.00 + 0.088 * 40.00 + 0.20 * 28.31 ≈ 11.00 kg - 蔗糖总量：0.40 * 28.31 + 2.68 ≈ 14.00 kg 通过上述计算，我们可以看到各成分的总量基本符合要求，误差可能由于四舍五入导致。