(9) lim _(xarrow +infty )dfrac (ln (1+dfrac {1)(x))}(arctan x) :

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及对数函数与反三角函数的组合极限。需要掌握等价无穷小替换和极限的基本性质。

解题核心思路：
当$x \to +\infty$时，分子$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$趋近于$0$，分母$\arctan x$趋近于$\dfrac{\pi}{2}$。因此，整体形式为$\dfrac{0}{\text{常数}}$，直接可得极限值为$0$。

破题关键点：

1. 识别分子的等价无穷小：当$x \to +\infty$时，$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \sim \dfrac{1}{x}$。
2. 分母的极限性质：$\arctan x$在$x \to +\infty$时的极限为$\dfrac{\pi}{2}$。
3. 直接代入判断：分子趋近于$0$，分母趋近于常数，无需复杂变形。

步骤1：分析分子与分母的极限

• 分子：当$x \to +\infty$时，$\dfrac{1}{x} \to 0$，因此$\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \approx \dfrac{1}{x}$（利用等价无穷小替换）。
• 分母：$\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$。

步骤2：代入极限形式
原式可近似为：
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{2}} \cdot \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0.$

结论：
分子趋近于$0$，分母趋近于常数，因此极限值为$0$。