(6) lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {1+tan x)-sqrt (1+sin x)}(xsqrt {1+{sin )^2x}-x}

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分子有理化、泰勒展开、等价无穷小替换等技巧。关键在于处理分子中的根号相减和分母的复杂结构。

解题思路：

1. 分子有理化：通过乘以共轭表达式消除根号差，将分子转化为更易处理的形式。
2. 分解分子与分母：将分子中的 $\tan x - \sin x$ 分解为 $\sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$，并利用等价无穷小替换简化。
3. 分母处理：将分母中的 $\sqrt{1+\sin^2 x} - 1$ 展开为 $\frac{\sin^2 x}{2}$，结合泰勒展开进一步简化。
4. 极限计算：通过约分和代入等价无穷小，最终化简得到结果。

分子有理化

原式分子为 $\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}$，乘以共轭表达式：
$\begin{aligned}\text{分子} &= \frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{1} \cdot \frac{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}} \\&= \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}.\end{aligned}$

分母变形

分母为 $x\sqrt{1+\sin^2 x} - x = x \left( \sqrt{1+\sin^2 x} - 1 \right)$，利用泰勒展开 $\sqrt{1+\sin^2 x} \approx 1 + \frac{\sin^2 x}{2}$，得：
$\sqrt{1+\sin^2 x} - 1 \approx \frac{\sin^2 x}{2}.$

分子分解

$\tan x - \sin x = \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$，结合等价无穷小 $\sin x \sim x$ 和 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，得：
$\tan x - \sin x \sim x \cdot \frac{\frac{x^2}{2}}{1} = \frac{x^3}{2}.$

整体化简

将分子和分母代入原式：
$\begin{aligned}\text{原式} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{\left( \sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x} \right) \cdot x \cdot \frac{x^2}{2}} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{2 \cdot \frac{x^3}{2}} \\&= \frac{1}{2}.\end{aligned}$