题目

设从均值为μ,方差为 (sigma )^2gt 0 的总体中分别抽取容量为n1,n2的两独立-|||-样本.X1和X2分别是两样本的均值.试证:对于任意常数a, b(a+b=1) =-|||-(x)_(1)+b(x)_(2) 都是μ的无偏估计,并确定常数a,b使D(Y)达到最小.


题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计的定义及方差最小性的求解，涉及期望与方差的性质、独立随机变量的方差计算，以及利用微积分求极值的方法。

解题核心思路：

  1. 无偏性证明：利用样本均值的期望性质，结合线性组合的期望公式，验证$E(Y)=\mu$。
  2. 方差最小化：通过独立随机变量的方差性质写出$D(Y)$的表达式，代入约束条件$a+b=1$，转化为单变量函数求最小值问题，使用导数法确定最优$a$和$b$。

破题关键点：

  • 无偏性的关键在于线性组合的期望满足$a+b=1$。
  • 方差最小化需正确展开方差表达式，并通过求导找到极值点，验证二阶导数确认最小值。

1. 证明$Y$是$\mu$的无偏估计

由样本均值的性质，$E(X_1)=\mu$，$E(X_2)=\mu$。根据期望的线性性：
$E(Y) = E(aX_1 + bX_2) = aE(X_1) + bE(X_2) = a\mu + b\mu = (a + b)\mu.$
由于$a + b = 1$，得$E(Y) = \mu$，故$Y$是$\mu$的无偏估计。

2. 确定$a$和$b$使$D(Y)$最小

计算方差$D(Y)$

因$X_1$与$X_2$独立，方差满足：
$D(Y) = D(aX_1 + bX_2) = a^2D(X_1) + b^2D(X_2).$
已知$D(X_1) = \dfrac{\sigma^2}{n_1}$，$D(X_2) = \dfrac{\sigma^2}{n_2}$，代入得：
$D(Y) = a^2 \cdot \dfrac{\sigma^2}{n_1} + b^2 \cdot \dfrac{\sigma^2}{n_2}.$

代入约束条件$b = 1 - a$

将$b = 1 - a$代入方差表达式：
$D(Y) = \sigma^2 \left( \dfrac{a^2}{n_1} + \dfrac{(1 - a)^2}{n_2} \right).$

求导找极值点

对$a$求导并令导数为零：
$\dfrac{d}{da}D(Y) = \sigma^2 \left( \dfrac{2a}{n_1} - \dfrac{2(1 - a)}{n_2} \right) = 0.$
解得：
$a = \dfrac{n_1}{n_1 + n_2}, \quad b = 1 - a = \dfrac{n_2}{n_1 + n_2}.$

验证最小值

二阶导数为：
$\dfrac{d^2}{da^2}D(Y) = \sigma^2 \left( \dfrac{2}{n_1} + \dfrac{2}{n_2} \right) > 0,$
说明此时$D(Y)$取得最小值。