题目

(2021 浙江)已知f(x)=} (1-cos3x)/(2x),x>0, ax+b+sin x,xleqslant 0, 求a,b为何值时,f(x)在x=0处可导.

(2021 浙江)已知$f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos3x}{2x},x>0,\\ ax+b+\sin x,x\leqslant 0,\end{cases}$ 求a,b为何值时,f(x)在x=0处可导.

题目解答

答案

为了使函数 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导，需满足连续且左右导数相等。 1. **连续性**： \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos 3x}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{9x^2/2}{2x} = 0 \] \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = b \] 由连续性，$ b = 0 $。 2. **可导性**： 右导数： \[ f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos 3x}{2x^2} = \frac{9}{4} \] 左导数： \[ f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} (a + \frac{\sin x}{x}) = a + 1 \] 由可导性，$ f'_+(0) = f'_-(0) $，即 $ a + 1 = \frac{9}{4} $，解得 $ a = \frac{5}{4} $。 **答案**： \[ \boxed{a = \frac{5}{4}, b = 0} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数在分段点处的可导性条件，涉及连续性和左右导数相等两个关键点。

解题思路：

  1. 连续性：函数在$x=0$处可导，首先必须连续。因此需要计算左右极限并令其等于$f(0)$，从而确定$b$的值。
  2. 可导性：在连续的基础上，计算左右导数并令其相等，从而确定$a$的值。

破题关键：

  • 等价无穷小替换：处理$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x}$时，利用$1 - \cos 3x \sim \frac{(3x)^2}{2}$简化计算。
  • 导数定义：直接通过导数定义计算左右导数，注意分母为$x$的处理。

1. 连续性条件

右极限：
当$x \to 0^+$时，
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos 3x}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{(3x)^2}{2}}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{9x}{4} = 0.$

左极限与$f(0)$：
当$x \leq 0$时，$f(x) = ax + b + \sin x$，因此
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = b.$

连续性要求：
由连续性，右极限等于左极限，故$b = 0$。

2. 可导性条件

右导数：
根据导数定义，
$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1 - \cos 3x}{2x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos 3x}{2x^2}.$
利用等价无穷小替换$1 - \cos 3x \sim \frac{(3x)^2}{2}$，得
$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{9x^2}{2}}{2x^2} = \frac{9}{4}.$

左导数：
根据导数定义，
$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( a + \frac{\sin x}{x} \right).$
由于$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，故
$f'_-(0) = a + 1.$

可导性要求：
令左右导数相等，即
$a + 1 = \frac{9}{4} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{5}{4}.$