试证-|||-(int )_(c)^edfrac (dz)({(z-a))^n}= ) 2pi i(n=1) 0 (nneq 1 .-|||-(n≠1,且n为整数),-|||-这里C表示以a为中心ρ为半径的圆周.

考查要点：本题主要考查复变函数中的环路积分计算，特别是围绕孤立奇点的积分性质。关键在于理解留数定理的应用以及幂函数的积分特性。

解题核心思路：

1. 参数化积分路径：将圆周路径用极坐标形式表示，转化为关于角度的定积分。
2. 分类讨论：当$n=1$时，积分结果与经典结果$\int_C \frac{1}{z-a} dz = 2\pi i$一致；当$n \neq 1$时，利用指数函数的周期性积分性质直接计算得零。

破题关键点：

• 奇点的留数：当$n=1$时，奇点$a$的留数为$1$，积分结果为$2\pi i$。
• 高阶奇点的积分性质：当$n \neq 1$时，虽然奇点存在，但积分结果为零，体现复变函数中非$-1$次幂函数的环路积分为零的特性。

参数化积分路径

设圆周$C$的参数方程为：
$z - a = \rho e^{it} \quad (0 \leq t \leq 2\pi),$
则微分$dz$为：
$dz = i\rho e^{it} dt.$

分情况讨论积分

当$n=1$时

积分变为：
$\begin{aligned}\int_C \frac{dz}{(z-a)^1} &= \int_0^{2\pi} \frac{i\rho e^{it} dt}{\rho e^{it}} \\&= \int_0^{2\pi} i \, dt \\&= i \cdot 2\pi = 2\pi i.\end{aligned}$

当$n \neq 1$且$n$为整数时

积分表达式为：
$\begin{aligned}\int_C \frac{dz}{(z-a)^n} &= \int_0^{2\pi} \frac{i\rho e^{it} dt}{(\rho e^{it})^n} \\&= \frac{i}{\rho^{n-1}} \int_0^{2\pi} e^{it(1-n)} dt.\end{aligned}$
由于$n \neq 1$，指数项$e^{it(1-n)}$的指数为非零整数倍，积分结果为：
$\int_0^{2\pi} e^{it(1-n)} dt = \left. \frac{e^{it(1-n)}}{i(1-n)} \right|_0^{2\pi} = \frac{1}{i(1-n)} \left( e^{i2\pi(1-n)} - 1 \right).$
关键性质：当$1-n$为整数时，$e^{i2\pi(1-n)} = 1$，因此整体积分为零。
最终结果为：
$\frac{i}{\rho^{n-1}} \cdot 0 = 0.$