题目
十一、设复数z=a+ib是实系数方程a_(0)z^n+a_(1)z^n-1+...+a_(n-1)z+a_(n)=0的根，证明：overline(z)=a-ib也是方程的根。
十一、设复数z=a+ib是实系数方程$a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_{n}=0$的根，证明：$\overline{z}=a-ib$也是方程的根。
题目解答
答案
设复数 $ z = a + ib $ 是实系数方程 $ a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n = 0 $ 的根，其中 $ a_i $（$ i = 0, 1, \ldots, n $）均为实数。
对等式两边取共轭，利用复共轭性质（实数共轭不变，和与积的共轭等于共轭的和与积），得：
\[
\overline{a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n} = \overline{0}
\]
即：
\[
a_0 \overline{z^n} + a_1 \overline{z^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \overline{z} + a_n = 0
\]
由 $ \overline{z^k} = \overline{z}^k $，上式化简为：
\[
a_0 (\overline{z})^n + a_1 (\overline{z})^{n-1} + \cdots + a_{n-1} \overline{z} + a_n = 0
\]
表明 $ \overline{z} = a - ib $ 也是方程的根。
**结论：**
若 $ z = a + ib $ 是实系数方程的根，则其共轭 $ \overline{z} = a - ib $ 也是方程的根。
\[
\boxed{\text{若 } z = a + ib \text{ 是根，则 } \overline{z} = a - ib \text{ 也是根。}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查复数共轭的性质及其在实系数多项式方程中的应用。
解题核心思路：利用复数共轭运算的线性性、乘积性以及实系数的特性，对方程两边取共轭后进行变形，从而证明共轭复数也是方程的根。
破题关键点：
- 复数共轭的运算规则：实数共轭不变，和与积的共轭等于共轭的和与积。
- 幂的共轭性质：$\overline{z^k} = (\overline{z})^k$。
- 方程两边取共轭后等价变形，最终得到以$\overline{z}$为变量的方程。
已知复数$z = a + ib$是实系数方程
$a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n = 0$
的根，其中$a_i$（$i = 0, 1, \ldots, n$）均为实数。
步骤1：对方程两边取共轭
由于等式成立，两边取共轭后仍成立：
$\overline{a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n} = \overline{0}.$
步骤2：利用共轭运算的线性性
实系数$a_i$的共轭仍为$a_i$，且共轭运算对和与积适用，因此左边可展开为：
$a_0 \overline{z^n} + a_1 \overline{z^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \overline{z} + a_n = 0.$
步骤3：应用幂的共轭性质
根据$\overline{z^k} = (\overline{z})^k$，将每一项化简：
$a_0 (\overline{z})^n + a_1 (\overline{z})^{n-1} + \cdots + a_{n-1} \overline{z} + a_n = 0.$
结论：
上式表明，将$\overline{z} = a - ib$代入原方程后等式成立，因此$\overline{z}$也是方程的根。