题目
(1)设A为三阶矩阵,将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。-|||-记P1= (_(2) C.P2P1。 D. ({P)_(2)}^(P_{1)}^-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解矩阵变换
矩阵A经过两次变换得到单位矩阵E。首先，将A的第2列加到第1列得到矩阵B，然后交换B的第2行与第3行得到单位矩阵E。这两个变换分别由矩阵P1和P2表示。
步骤 2：表示变换过程
根据题意，有：
\[ B = A P_1 \]
\[ E = P_2 B \]
将B代入第二个等式，得到：
\[ E = P_2 (A P_1) \]
步骤 3：求解A
从上述等式中解出A：
\[ P_2 (A P_1) = E \]
\[ A P_1 = P_2^{-1} \]
\[ A = P_2^{-1} P_1^{-1} \]
由于P1和P2都是初等矩阵，它们的逆矩阵分别是它们的逆变换矩阵，即：
\[ P_1^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \]
\[ P_2^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right. \]
因此，A可以表示为：
\[ A = P_2^{-1} P_1^{-1} = P_2 P_1^{-1} \]
矩阵A经过两次变换得到单位矩阵E。首先，将A的第2列加到第1列得到矩阵B，然后交换B的第2行与第3行得到单位矩阵E。这两个变换分别由矩阵P1和P2表示。
步骤 2：表示变换过程
根据题意，有：
\[ B = A P_1 \]
\[ E = P_2 B \]
将B代入第二个等式，得到：
\[ E = P_2 (A P_1) \]
步骤 3：求解A
从上述等式中解出A：
\[ P_2 (A P_1) = E \]
\[ A P_1 = P_2^{-1} \]
\[ A = P_2^{-1} P_1^{-1} \]
由于P1和P2都是初等矩阵，它们的逆矩阵分别是它们的逆变换矩阵，即：
\[ P_1^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \]
\[ P_2^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right. \]
因此，A可以表示为：
\[ A = P_2^{-1} P_1^{-1} = P_2 P_1^{-1} \]