证明(cos x)'=-sin x

考查要点：本题要求利用导数的定义证明$\cos x$的导数为$-\sin x$，主要考查对导数定义的理解和三角函数和角公式的应用，同时需要掌握极限的计算技巧。

解题核心思路：

1. 代入导数定义，将$\cos(x+\Delta x)$展开为$\cos x \cos \Delta x - \sin x \sin \Delta x$；
2. 拆分表达式，将分子中的项分别与$\Delta x$相除；
3. 分别求极限，利用$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \Delta x -1}{\Delta x}=0$和$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x}=1$化简。

破题关键点：

• 正确展开$\cos(x+\Delta x)$是基础；
• 分离极限项后，需准确计算两个关键极限值。

根据导数的定义，$\cos x$的导数为：
$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos x}{\Delta x}$

步骤1：展开$\cos(x+\Delta x)$
利用三角函数和角公式：
$\cos(x+\Delta x) = \cos x \cos \Delta x - \sin x \sin \Delta x$

步骤2：代入导数定义式
将展开式代入分子：
$\begin{aligned}(\cos x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x \cos \Delta x - \sin x \sin \Delta x - \cos x}{\Delta x} \\&= \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \cos x \cdot \frac{\cos \Delta x -1}{\Delta x} - \sin x \cdot \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \right]\end{aligned}$

步骤3：分别求极限

1. 第一项：$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \Delta x -1}{\Delta x} = 0$（利用等价无穷小$\cos \Delta x -1 \sim -\frac{(\Delta x)^2}{2}$）；
2. 第二项：$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1$（基本极限公式）。

步骤4：合并结果
代入极限值：
$(\cos x)' = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$