设随机变量 sim N(mu ,(sigma )^2) sim N(mu ,(sigma )^2), 且设X,Y相互独立,试求-|||-_(1)=alpha X+beta Y 和 _(2)=alpha X-beta Y 的相关系数(其中α,β是不为零的常数).

步骤 1：计算 $Cov(Z_1, Z_2)$
由于 $Z_1 = \alpha X + \beta Y$ 和 $Z_2 = \alpha X - \beta Y$，我们首先计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的协方差。利用协方差的性质，我们有：
$$
Cov(Z_1, Z_2) = Cov(\alpha X + \beta Y, \alpha X - \beta Y)
$$
根据协方差的线性性质，可以展开为：
$$
Cov(Z_1, Z_2) = \alpha^2 Cov(X, X) - \alpha \beta Cov(X, Y) + \alpha \beta Cov(Y, X) - \beta^2 Cov(Y, Y)
$$
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Cov(X, Y) = 0$，因此：
$$
Cov(Z_1, Z_2) = \alpha^2 D(X) - \beta^2 D(Y)
$$
由于 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，所以 $D(X) = D(Y) = \sigma^2$，因此：
$$
Cov(Z_1, Z_2) = (\alpha^2 - \beta^2) \sigma^2
$$

步骤 2：计算 $D(Z_1)$ 和 $D(Z_2)$
接下来，我们计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的方差。利用方差的性质，我们有：
$$
D(Z_1) = D(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) + 2 \alpha \beta Cov(X, Y)
$$
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Cov(X, Y) = 0$，因此：
$$
D(Z_1) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = (\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2
$$
同理，对于 $Z_2$，我们有：
$$
D(Z_2) = D(\alpha X - \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) - 2 \alpha \beta Cov(X, Y)
$$
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$Cov(X, Y) = 0$，因此：
$$
D(Z_2) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = (\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2
$$

步骤 3：计算相关系数 $\rho_{Z_1, Z_2}$
最后，我们利用相关系数的定义，计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的相关系数：
$$
\rho_{Z_1, Z_2} = \frac{Cov(Z_1, Z_2)}{\sqrt{D(Z_1) D(Z_2)}}
$$
将前面计算的结果代入，我们有：
$$
\rho_{Z_1, Z_2} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2) \sigma^2}{\sqrt{(\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2 (\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2}} = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}
$$