设随机变量 sim N(mu ,(sigma )^2) sim N(mu ,(sigma )^2), 且设X,Y相互独立,试求-|||-_(1)=alpha X+beta Y 和 _(2)=alpha X-beta Y 的相关系数(其中α,β是不为零的常数).

考查要点：本题主要考查正态分布随机变量的线性组合的协方差与相关系数的计算，以及独立随机变量的性质。

解题核心思路：

1. 利用协方差的性质展开计算 $Cov(Z_1, Z_2)$，注意利用 $X$ 与 $Y$ 独立的条件简化计算。
2. 计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的方差，同样利用独立性简化。
3. 代入相关系数公式 $\rho_{Z_1,Z_2} = \frac{Cov(Z_1,Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}}$。

破题关键点：

• 独立变量的协方差为零：$Cov(X,Y)=0$。
• 方差的线性性质：$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$（独立时）。

步骤1：计算协方差 $Cov(Z_1, Z_2)$

$\begin{aligned}Cov(Z_1, Z_2) &= Cov(\alpha X + \beta Y, \alpha X - \beta Y) \\&= \alpha \cdot \alpha Cov(X,X) + \alpha \cdot (-\beta) Cov(X,Y) + \beta \cdot \alpha Cov(Y,X) + \beta \cdot (-\beta) Cov(Y,Y) \\&= \alpha^2 D(X) - \beta^2 D(Y) \quad (\text{因 } Cov(X,Y)=0) \\&= (\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2.\end{aligned}$

步骤2：计算方差 $D(Z_1)$ 和 $D(Z_2)$

$\begin{aligned}D(Z_1) &= D(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2, \\D(Z_2) &= D(\alpha X - \beta Y) = \alpha^2 D(X) + \beta^2 D(Y) = (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2.\end{aligned}$

步骤3：计算相关系数 $\rho_{Z_1,Z_2}$

$\rho_{Z_1,Z_2} = \frac{Cov(Z_1,Z_2)}{\sqrt{D(Z_1)D(Z_2)}} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)\sigma^2}{\sqrt{(\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2 \cdot (\alpha^2 + \beta^2)\sigma^2}} = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}.$