对于对称矩阵A= (} 1& 1& 0 1& 0& -1 0& -1& 1 ) . ,求A的特征值和特征向量。

步骤 1：求特征多项式
为了求矩阵A的特征值，我们首先需要求出矩阵A的特征多项式。特征多项式是通过计算矩阵A减去λI的行列式得到的，其中I是单位矩阵，λ是特征值。对于矩阵A，我们有：
$$
A - \lambda I = \left (\begin{matrix} 1-\lambda & 1 & 0\\ 1 & -\lambda & -1\\ 0 & -1 & 1-\lambda \end{matrix} \right )
$$
步骤 2：计算行列式
接下来，我们计算上述矩阵的行列式，得到特征多项式：
$$
\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\ 1 & -\lambda & -1\\ 0 & -1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & -1\\ -1 & 1-\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix}
$$
$$
= (1-\lambda) [(-\lambda)(1-\lambda) - (-1)(-1)] - 1 [1(1-\lambda) - (-1)(0)]
$$
$$
= (1-\lambda) [\lambda^2 - \lambda - 1] - (1-\lambda)
$$
$$
= (1-\lambda) (\lambda^2 - \lambda - 2)
$$
步骤 3：求特征值
令特征多项式等于0，求解λ的值，得到特征值：
$$
(1-\lambda) (\lambda^2 - \lambda - 2) = 0
$$
$$
\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -1
$$
步骤 4：求特征向量
对于每个特征值，我们求解方程$(A - \lambda I)X = 0$，得到对应的特征向量。
对于$\lambda_1 = 1$：
$$
\left (\begin{matrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & -1\\ 0 & -1 & 0 \end{matrix} \right ) \left (\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right ) = \left (\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right )
$$
解得特征向量$P_1 = (1, 1, 1)^T$。
对于$\lambda_2 = 2$：
$$
\left (\begin{matrix} -1 & 1 & 0\\ 1 & -2 & -1\\ 0 & -1 & -1 \end{matrix} \right ) \left (\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right ) = \left (\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right )
$$
解得特征向量$P_2 = (1, 0, -1)^T$。
对于$\lambda_3 = -1$：
$$
\left (\begin{matrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 2 \end{matrix} \right ) \left (\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix} \right ) = \left (\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right )
$$
解得特征向量$P_3 = (1, -2, 1)^T$。