题目
现有五把钥匙,其中两把能打开房门,每次从中任取一把试开房门,试用后不放回,别打开房门时为止.求:(1)试开次数×的分布律; (2)三次能打开房门的概率;(3)平均打开次数.
现有五把钥匙,其中两把能打开房门,每次从中任取一把试开房门,试用后不放回,别打开房门时为止.求:
(1)试开次数
的分布律;
(2)三次能打开房门的概率;
(3)平均打开次数.
题目解答
答案
解：
(1)5把钥匙2把能打开，易知试开次数可为1、2、3、4，其概率分布如下：
①第一把就是正确钥匙：
②第二把正确：
③第三把才正确：
④第四把正确：
综上，可得其分布律如下：
(2)5把钥匙试开3次可得其完备空间为
分析三次中有正确钥匙的情况：
①有一把正确钥匙：基本事件
②有两把正确钥匙：基本事件
综上，可得三次能打开门的概率
(3)
解析
步骤 1：确定试开次数的可能值
试开次数的可能值为1、2、3、4，因为如果前三次都没有打开房门，那么第四次必定能打开房门，因为只剩下一把钥匙，且这把钥匙必定是能打开房门的钥匙。
步骤 2：计算试开次数为1的概率
试开次数为1的概率，即第一次试开就打开房门的概率，为$\dfrac{2}{5}$，因为有两把钥匙能打开房门，总共有五把钥匙。
步骤 3：计算试开次数为2的概率
试开次数为2的概率，即第一次试开没有打开房门，第二次试开打开房门的概率，为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$，因为第一次试开没有打开房门的概率为$\dfrac{3}{5}$，第二次试开打开房门的概率为$\dfrac{2}{4}$。
步骤 4：计算试开次数为3的概率
试开次数为3的概率，即前两次试开都没有打开房门，第三次试开打开房门的概率，为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{5}$，因为前两次试开都没有打开房门的概率为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4}$，第三次试开打开房门的概率为$\dfrac{2}{3}$。
步骤 5：计算试开次数为4的概率
试开次数为4的概率，即前三次试开都没有打开房门，第四次试开打开房门的概率，为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{2} = \dfrac{1}{10}$，因为前三次试开都没有打开房门的概率为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{1}{3}$，第四次试开打开房门的概率为$\dfrac{2}{2}$。
步骤 6：计算三次能打开房门的概率
三次能打开房门的概率，即前三次试开中有至少一次打开房门的概率，为$\dfrac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}} = \dfrac{9}{10}$，因为前三次试开中有至少一次打开房门的事件包括两种情况：①有一把正确钥匙：基本事件${C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}$；②有两把正确钥匙：基本事件${C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}$。
步骤 7：计算平均打开次数
平均打开次数，即试开次数的期望值，为$E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4) = 1 \times \dfrac{2}{5} + 2 \times \dfrac{3}{10} + 3 \times \dfrac{1}{5} + 4 \times \dfrac{1}{10} = 2$。
试开次数的可能值为1、2、3、4，因为如果前三次都没有打开房门，那么第四次必定能打开房门，因为只剩下一把钥匙，且这把钥匙必定是能打开房门的钥匙。
步骤 2：计算试开次数为1的概率
试开次数为1的概率，即第一次试开就打开房门的概率，为$\dfrac{2}{5}$，因为有两把钥匙能打开房门，总共有五把钥匙。
步骤 3：计算试开次数为2的概率
试开次数为2的概率，即第一次试开没有打开房门，第二次试开打开房门的概率，为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$，因为第一次试开没有打开房门的概率为$\dfrac{3}{5}$，第二次试开打开房门的概率为$\dfrac{2}{4}$。
步骤 4：计算试开次数为3的概率
试开次数为3的概率，即前两次试开都没有打开房门，第三次试开打开房门的概率，为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{5}$，因为前两次试开都没有打开房门的概率为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4}$，第三次试开打开房门的概率为$\dfrac{2}{3}$。
步骤 5：计算试开次数为4的概率
试开次数为4的概率，即前三次试开都没有打开房门，第四次试开打开房门的概率，为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{2} = \dfrac{1}{10}$，因为前三次试开都没有打开房门的概率为$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{1}{3}$，第四次试开打开房门的概率为$\dfrac{2}{2}$。
步骤 6：计算三次能打开房门的概率
三次能打开房门的概率，即前三次试开中有至少一次打开房门的概率，为$\dfrac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}} = \dfrac{9}{10}$，因为前三次试开中有至少一次打开房门的事件包括两种情况：①有一把正确钥匙：基本事件${C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}$；②有两把正确钥匙：基本事件${C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}$。
步骤 7：计算平均打开次数
平均打开次数，即试开次数的期望值，为$E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4) = 1 \times \dfrac{2}{5} + 2 \times \dfrac{3}{10} + 3 \times \dfrac{1}{5} + 4 \times \dfrac{1}{10} = 2$。