设X,Y是独立随机变量，分别服从参数为lambda_(1),lambda_(2)的泊松分布，试证明PX=k|X+Y=n=C_(n)^k((lambda_(1))/(lambda_(1)+lambda_{2)})^k((lambda_(2))/(lambda_(1)+lambda_{2)})^n-k,k=0,1,...,n

为了证明 $ P\{X=k|X+Y=n\} = C_{n}^{k} \left( \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} \right)^{k} \left( \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} \right)^{n-k} $，我们首先使用条件概率的定义。条件概率 $ P\{X=k|X+Y=n\} $ 可以表示为： \[ P\{X=k|X+Y=n\} = \frac{P\{X=k, X+Y=n\}}{P\{X+Y=n\}}. \] 由于 $ X $ 和 $ Y $ 是独立的随机变量，且分别服从参数为 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 的泊松分布，我们有： \[ P\{X=k\} = \frac{e^{-\lambda_1} \lambda_1^k}{k!} \quad \text{和} \quad P\{Y=n-k\} = \frac{e^{-\lambda_2} \lambda_2^{n-k}}{(n-k)!}. \] 因此，联合概率 $ P\{X=k, X+Y=n\} $ 等于 $ P\{X=k, Y=n-k\} $，即： \[ P\{X=k, X+Y=n\} = P\{X=k\} P\{Y=n-k\} = \frac{e^{-\lambda_1} \lambda_1^k}{k!} \cdot \frac{e^{-\lambda_2} \lambda_2^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}}{k! (n-k)!}. \] 接下来，我们需要计算 $ P\{X+Y=n\} $。由于两个独立的泊松随机变量的和仍然是泊松随机变量，其参数为两个泊松分布参数的和，我们有： \[ P\{X+Y=n\} = \frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} (\lambda_1+\lambda_2)^n}{n!}. \] 现在，我们可以将这些结果代入条件概率的表达式中： \[ P\{X=k|X+Y=n\} = \frac{\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \lambda_1^k \lambda_2^{n-k}}{k! (n-k)!}}{\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} (\lambda_1+\lambda_2)^n}{n!}} = \frac{\lambda_1^k \lambda_2^{n-k}}{k! (n-k)!} \cdot \frac{n!}{(\lambda_1+\lambda_2)^n} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \right)^k \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} \right)^{n-k} = C_n^k \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \right)^k \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} \right)^{n-k}. \] Thus, the proof is complete. \[ \boxed{C_n^k \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \right)^k \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} \right)^{n-k}}. \]