题目
24.设随机变量X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布,令-|||-=2x+y , =2x-y.-|||-求U和V的相关系数Corr(U,V).
题目解答
答案
答案: Corr(U,V)=\\frac{3}{5} 解析:因为 VarcU)=Var(2 x+Y)=4 Var(x)+Var(Y)=5 \\lambda Var(V)=Var(2 x-Y)=4 Var(x)+Var(Y)=5 \\lambda 6 m COv(U,V)=Cov(2 x+Y,2 x-Y)=Cov(2 x,2 x)+Gv(Y 2 x)-Gv(2 x,y)-Gv(Y,y)=4 Var(x)-Var(Y)=3 \\lambda 由此得 C_{m^{\\prime}}(U,V)=\\frac{C_{ov}(U,V)}{\\sqrt{V_{m^{\\prime}(U)}}\\sqrt{V_{av}(V)}}=\\frac{3 \\lambda} 知识点:协方差与相关系数的计算.
解析
步骤 1：计算Var(U)
由于 $U=2X+Y$，且X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布，因此
$$Var(U)=Var(2X+Y)=4Var(X)+Var(Y)=4\lambda+\lambda=5\lambda$$
步骤 2：计算Var(V)
由于 $V=2X-Y$，且X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布，因此
$$Var(V)=Var(2X-Y)=4Var(X)+Var(Y)=4\lambda+\lambda=5\lambda$$
步骤 3：计算Cov(U,V)
由于 $U=2X+Y$ 和 $V=2X-Y$，且X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布，因此
$$Cov(U,V)=Cov(2X+Y,2X-Y)=4Var(X)-Var(Y)=4\lambda-\lambda=3\lambda$$
步骤 4：计算相关系数Corr(U,V)
根据相关系数的定义，有
$$Corr(U,V)=\frac{Cov(U,V)}{\sqrt{Var(U)}\sqrt{Var(V)}}=\frac{3\lambda}{\sqrt{5\lambda}\sqrt{5\lambda}}=\frac{3}{5}$$
由于 $U=2X+Y$，且X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布，因此
$$Var(U)=Var(2X+Y)=4Var(X)+Var(Y)=4\lambda+\lambda=5\lambda$$
步骤 2：计算Var(V)
由于 $V=2X-Y$，且X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布，因此
$$Var(V)=Var(2X-Y)=4Var(X)+Var(Y)=4\lambda+\lambda=5\lambda$$
步骤 3：计算Cov(U,V)
由于 $U=2X+Y$ 和 $V=2X-Y$，且X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布，因此
$$Cov(U,V)=Cov(2X+Y,2X-Y)=4Var(X)-Var(Y)=4\lambda-\lambda=3\lambda$$
步骤 4：计算相关系数Corr(U,V)
根据相关系数的定义，有
$$Corr(U,V)=\frac{Cov(U,V)}{\sqrt{Var(U)}\sqrt{Var(V)}}=\frac{3\lambda}{\sqrt{5\lambda}\sqrt{5\lambda}}=\frac{3}{5}$$