题目

24.设随机变量X和Y独立同服从参数为λ的泊松分布,令-|||-=2x+y , =2x-y.-|||-求U和V的相关系数Corr(U,V).

题目解答

答案

答案: Corr(U,V)=\\frac{3}{5} 解析:因为 VarcU)=Var(2 x+Y)=4 Var(x)+Var(Y)=5 \\lambda Var(V)=Var(2 x-Y)=4 Var(x)+Var(Y)=5 \\lambda 6 m COv(U,V)=Cov(2 x+Y,2 x-Y)=Cov(2 x,2 x)+Gv(Y 2 x)-Gv(2 x,y)-Gv(Y,y)=4 Var(x)-Var(Y)=3 \\lambda 由此得 C_{m^{\\prime}}(U,V)=\\frac{C_{ov}(U,V)}{\\sqrt{V_{m^{\\prime}(U)}}\\sqrt{V_{av}(V)}}=\\frac{3 \\lambda} 知识点:协方差与相关系数的计算.

解析

考查要点：本题主要考查协方差与相关系数的计算，涉及随机变量的线性组合的方差与协方差性质，以及泊松分布的方差特性。

解题核心思路：

  1. 利用独立性简化计算：由于X和Y独立，协方差Cov(X,Y)=0，可简化方差和协方差的展开式。
  2. 方差与协方差的线性性质：通过线性组合的方差公式，分别计算Var(U)和Var(V)，再结合协方差展开式求Cov(U,V)。
  3. 相关系数公式：将协方差与方差代入相关系数公式，最终化简得到结果。

破题关键点：

  • 泊松分布的方差：Var(X)=Var(Y)=λ。
  • 独立变量的协方差为零：Cov(X,Y)=0。
  • 协方差展开的准确性：正确展开Cov(2X+Y, 2X−Y)的各项并化简。

步骤1：计算Var(U)和Var(V)

  • U=2X+Y：
    $\begin{aligned} \text{Var}(U) &= \text{Var}(2X + Y) \\ &= 4\text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(2X, Y) \\ &= 4\lambda + \lambda + 0 \quad (\text{因} \ X \ \text{与} \ Y \ \text{独立}) \\ &= 5\lambda. \end{aligned}$
  • V=2X−Y：
    $\begin{aligned} \text{Var}(V) &= \text{Var}(2X - Y) \\ &= 4\text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(2X, -Y) \\ &= 4\lambda + \lambda + 0 \\ &= 5\lambda. \end{aligned}$

步骤2：计算Cov(U,V)

  • 展开协方差：
    $\begin{aligned} \text{Cov}(U, V) &= \text{Cov}(2X + Y, 2X - Y) \\ &= \text{Cov}(2X, 2X) + \text{Cov}(2X, -Y) + \text{Cov}(Y, 2X) + \text{Cov}(Y, -Y) \\ &= 4\text{Var}(X) - 2\text{Cov}(X, Y) + 2\text{Cov}(Y, X) - \text{Var}(Y) \\ &= 4\lambda - 0 + 0 - \lambda \quad (\text{因} \ X \ \text{与} \ Y \ \text{独立}) \\ &= 3\lambda. \end{aligned}$

步骤3：计算相关系数

  • 代入公式：
    $\begin{aligned} \text{Corr}(U, V) &= \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sqrt{\text{Var}(U)} \cdot \sqrt{\text{Var}(V)}} \\ &= \frac{3\lambda}{\sqrt{5\lambda} \cdot \sqrt{5\lambda}} \\ &= \frac{3\lambda}{5\lambda} \\ &= \frac{3}{5}. \end{aligned}$