题目
设随机变量X的分布律为 (x=k)=dfrac (k)(c) k=1 ... n ,则常数c的取值()-|||-A. dfrac (n(n+1))(2) B. dfrac (2)(n(n+1)) C. dfrac (n(n+1))(3) D. dfrac (3)(n(n+1))
题目解答
答案
本题考查离散型随机变量分布律的性质，我们利用分布律所有概率之和为1这一性质来求解常数c的值。
解析
步骤 1：根据分布律性质列方程
已知随机变量X的分布律为 $P(X=k)=\dfrac {k}{c}$ k=1,2,···,n。根据离散型随机变量分布律的性质，所有可能取值对应的概率之和为1，即 $\sum _{k=1}^{n}P(X=k)=1$。在这里也就是 $\sum _{k=1}^{n}\dfrac {k}{c}=1$。
步骤 2：计算求和式的值
先计算 $\sum _{k=1}^{n}k$，它是首项 ${a}_{1}=1$，末项 ${a}_{n}=n$，项数为n的等差数列求和，根据等差数列求和公式 ${S}_{n}=\dfrac {n({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$ 可得：$\sum _{k=1}^{n}k=\dfrac {n(1+n)}{2}$。
步骤 3：求解常数c
由 $\sum _{k=1}^{n}\dfrac {k}{c}=1$，即 $\dfrac {1}{c}\sum _{k=1}^{n}k=1$。将 $\sum _{k=1}^{n}k=\dfrac {n(1+n)}{2}$ 代入可得：$\dfrac {1}{c}\times \dfrac {n(1+n)}{2}=1$。解这个关于c的方程：$\dfrac {n(1+n)}{2c}=1$，$c=\dfrac {n(1+n)}{2}$。
已知随机变量X的分布律为 $P(X=k)=\dfrac {k}{c}$ k=1,2,···,n。根据离散型随机变量分布律的性质，所有可能取值对应的概率之和为1，即 $\sum _{k=1}^{n}P(X=k)=1$。在这里也就是 $\sum _{k=1}^{n}\dfrac {k}{c}=1$。
步骤 2：计算求和式的值
先计算 $\sum _{k=1}^{n}k$，它是首项 ${a}_{1}=1$，末项 ${a}_{n}=n$，项数为n的等差数列求和，根据等差数列求和公式 ${S}_{n}=\dfrac {n({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$ 可得：$\sum _{k=1}^{n}k=\dfrac {n(1+n)}{2}$。
步骤 3：求解常数c
由 $\sum _{k=1}^{n}\dfrac {k}{c}=1$，即 $\dfrac {1}{c}\sum _{k=1}^{n}k=1$。将 $\sum _{k=1}^{n}k=\dfrac {n(1+n)}{2}$ 代入可得：$\dfrac {1}{c}\times \dfrac {n(1+n)}{2}=1$。解这个关于c的方程：$\dfrac {n(1+n)}{2c}=1$，$c=\dfrac {n(1+n)}{2}$。