某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%)-|||-3.25 3.27 3.24 3.26 3.24-|||-设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在 alpha =0.01 下能否接受假-|||-设:这批矿砂的镍含量的均值为3.25.

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，涉及假设检验的基本步骤、检验统计量的选择及计算、临界值的确定与决策。

解题核心思路：

1. 确定假设形式：根据题意，建立原假设$H_0: \mu = 3.25$和备择假设$H_1: \mu \neq 3.25$，属于双侧检验。
2. 选择检验方法：由于总体方差未知且样本量小（$n=5$），采用t检验。
3. 计算检验统计量：通过样本均值$\overline{x}$和样本标准差$s$，计算$t$值。
4. 确定临界值：根据显著性水平$\alpha=0.01$和自由度$n-1=4$，查t分布表得到临界值。
5. 比较与决策：判断$t$值是否落在拒绝域内，从而决定是否拒绝原假设。

破题关键点：

• 正确计算样本均值和标准差，避免计算错误。
• 准确查取临界值，注意自由度和双侧检验的调整。
• 明确拒绝域范围，双侧检验需同时考虑正负临界值。

步骤1：建立假设

• 原假设：$H_0: \mu = 3.25$
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 3.25$
• 检验类型：双侧检验，显著性水平$\alpha = 0.01$。

步骤2：计算样本均值和标准差

• 样本均值：
  $\overline{x} = \frac{3.25 + 3.27 + 3.24 + 3.26 + 3.24}{5} = 3.252$
• 样本标准差：
  $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x})^2}{5-1}} = \sqrt{\frac{0.00068}{4}} \approx 0.0130$

步骤3：计算t检验统计量

$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{3.252 - 3.25}{0.0130 / \sqrt{5}} \approx \frac{0.002}{0.0058} \approx 0.343$

步骤4：确定临界值

• 自由度：$df = n - 1 = 4$
• 双侧检验临界值：$t_{\alpha/2, df} = t_{0.005, 4} = 4.604$

步骤5：决策

• 观察到的t值绝对值：$|t| = 0.343$
• 比较：$0.343 < 4.604$，未落入拒绝域。
• 结论：在$\alpha = 0.01$下，不拒绝原假设，认为均值为3.25。