设sim U(-2,1)，求sim U(-2,1)的概率密度函数sim U(-2,1).

考查要点：本题主要考查连续型随机变量函数的概率密度求解，涉及分布函数法的应用，以及对均匀分布的理解。

解题核心思路：

1. 确定Y的取值范围：由于$Y = X^2$，且$X \sim U(-2,1)$，故$Y$的取值范围为$[0,4]$。
2. 分段讨论：根据$Y$的不同取值区间（$y < 0$，$0 \leq y < 1$，$1 \leq y < 4$，$y \geq 4$），分别计算分布函数$F_Y(y)$，再求导得到概率密度函数$f_Y(y)$。
3. 积分计算：在计算分布函数时，需注意$X$的取值范围随$y$的变化而调整，尤其当$y \geq 1$时，$X$的上限被限制为1。

破题关键点：

• 明确X的密度函数：$X$在$[-2,1]$上均匀分布，密度函数为$\frac{1}{3}$。
• 分段处理Y的分布函数：根据$Y$的取值范围，分区间计算概率，特别注意$y$在$[0,1)$和$[1,4)$时，$X$的积分区间不同。

步骤1：确定Y的取值范围

由于$Y = X^2$，且$X \in [-2,1]$，故$Y$的取值范围为$[0,4]$。

步骤2：分段讨论分布函数$F_Y(y)$

1. 当$y < 0$时：$Y$不可能小于0，故$F_Y(y) = 0$。
2. 当$0 \leq y < 1$时：
   • $Y \leq y$等价于$- \sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}$。
   • 积分区间为$[-\sqrt{y}, \sqrt{y}]$，计算得：
     $F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} \, dx = \frac{2\sqrt{y}}{3}.$
3. 当$1 \leq y < 4$时：
   • $Y \leq y$等价于$- \sqrt{y} \leq X \leq 1$（因$X$最大为1）。
   • 积分区间为$[-\sqrt{y}, 1]$，计算得：
     $F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{1} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1 + \sqrt{y}}{3}.$
4. 当$y \geq 4$时：所有$X$均满足$X^2 \leq 4$，故$F_Y(y) = 1$。

步骤3：求导得到概率密度函数$f_Y(y)$

对$F_Y(y)$分段求导：

1. 当$0 < y < 1$时：
   $f_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( \frac{2\sqrt{y}}{3} \right) = \frac{1}{3\sqrt{y}}.$
2. 当$1 \leq y < 4$时：
   $f_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( \frac{1 + \sqrt{y}}{3} \right) = \frac{1}{6\sqrt{y}}.$
3. 其他情况：$f_Y(y) = 0$。