(2)问：X，Y是否相互独立?3.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x,y)=}ce^-(3x+4y),&x>0,y>0,0,&其他.(1)确定常数c.(2)求(X，Y)的分布函数F(x，y).(3)讨论X和Y的独立性.
题目解答
答案
(1) 确定常数 $c$
积分 $f(x,y)$ 过整个平面得1：
$\int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} ce^{-(3x+4y)} \, dy \, dx = 1 \implies c = 12.$
答案： $c = 12$
(2) 求分布函数 $F(x,y)$
对 $f(x,y)$ 积分：
$F(x,y) = \begin{cases} (1 - e^{-3x})(1 - e^{-4y}) & x > 0, y > 0, \\ 0 & \text{其他情况}. \end{cases}$
(3) 判断独立性
求边缘密度：
$f_X(x) = 3e^{-3x} \quad (x > 0), \quad f_Y(y) = 4e^{-4y} \quad (y > 0).$
满足 $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$，故独立。
答案：
- $c = 12$
- 见上式
- $X$ 和 $Y$ 独立。
解析
考查要点：本题主要考查二维连续型随机变量的概率密度函数性质、分布函数的计算以及随机变量独立性的判断。
解题思路：
- 确定常数c：利用概率密度函数在整个平面上的积分等于1的性质，通过二重积分求解。
- 求分布函数：对概率密度函数进行二重积分，注意积分区域的分段讨论。
- 判断独立性：通过计算边缘密度函数，验证联合密度是否等于边缘密度的乘积。
关键点：
- 归一化条件：概率密度函数的积分等于1。
- 指数函数积分性质：$\int_0^{+\infty} e^{-kx} dx = \frac{1}{k}$。
- 独立性判定：若$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$，则X与Y独立。
(1) 确定常数$c$
根据概率密度函数的归一化条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1.$
由于$f(x,y) = ce^{-(3x+4y)}$仅在$x>0, y>0$时非零，积分区域简化为：
$\int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} ce^{-(3x+4y)} \, dy \, dx = 1.$
分解积分：
$c \int_0^{+\infty} e^{-3x} dx \cdot \int_0^{+\infty} e^{-4y} dy = c \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{c}{12} = 1.$
解得：
$c = 12.$
(2) 求分布函数$F(x,y)$
分布函数定义为：
$F(x,y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u,v) \, dv \, du.$
分段讨论：
- 当$x \leq 0$或$y \leq 0$时，$f(u,v)=0$，故$F(x,y)=0$。
- 当$x>0$且$y>0$时：
$\begin{aligned}F(x,y) &= \int_0^x \int_0^y 12e^{-(3u+4v)} \, dv \, du \\&= 12 \int_0^x e^{-3u} du \cdot \int_0^y e^{-4v} dv \\&= 12 \cdot \left( \frac{1 - e^{-3x}}{3} \right) \cdot \left( \frac{1 - e^{-4y}}{4} \right) \\&= (1 - e^{-3x})(1 - e^{-4y}).\end{aligned}$
(3) 讨论独立性
求边缘密度：
- $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy = \int_0^{+\infty} 12e^{-(3x+4y)} dy = 3e^{-3x} \quad (x>0)$，
- $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx = \int_0^{+\infty} 12e^{-(3x+4y)} dx = 4e^{-4y} \quad (y>0)$。
验证乘积关系：
$f_X(x)f_Y(y) = 3e^{-3x} \cdot 4e^{-4y} = 12e^{-(3x+4y)} = f(x,y).$
因此，$X$与$Y$独立。