5.已知连续型随机变量X的分布函数为-|||-F(x)= {e)^x, xlt 0; dfrac (1)(3)(x+1), 0leqslant xlt 2 1. xgeqslant 2. .-|||-设X的概率密度为f(x),则当 lt 0, f(x)= __

本题考查连续型随机变量分布函数与概率密度函数的关系。解题思路是利用连续型随机变量的概率密度函数$f(x)$是其分布函数$F(x)$的导数这一性质来求解。

已知连续型随机变量$X$的分布函数为$F(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{3}e^x, & x\lt 0\\\dfrac{1}{3}(x + 1), & 0\leqslant x\lt 2\\1, & x\geqslant 2\end{cases}$，要求当$x\lt 0$时$f(x)$的值。
根据概率密度函数与分布函数的关系$f(x)=F^\prime(x)$，当$x\lt 0$时，$F(x)=\dfrac{1}{3}e^x$。
对$F(x)=\dfrac{1}{3}e^x$求导，根据求导公式$(e^x)^\prime = e^x$以及常数与函数乘积的求导法则$(cf(x))^\prime = cf^\prime(x)$（其中$c$为常数），可得：
$f(x)=F^\prime(x)=\left(\dfrac{1}{3}e^x\right)^\prime=\dfrac{1}{3}(e^x)^\prime=\dfrac{1}{3}e^x$