题目

[题目]-|||-设 f(x)= , xlt 0 0, x=0 xcos dfrac {1)(x), xgt 0 . x=0 是f(x)的 () .-|||-A.连续点 B.可去间断点-|||-C.跳跃间断点 D.振荡间断点

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性及间断点类型的判断，涉及极限的计算和间断点分类的知识。

解题核心思路：

  1. 判断连续性：需验证函数在$x=0$处是否满足连续的三个条件（存在函数值、左右极限存在且相等、极限值等于函数值）。
  2. 计算左右极限：
    • 左极限（$x \to 0^-$）：利用$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$简化计算。
    • 右极限（$x \to 0^+$）：结合有界函数与无穷小量的乘积性质（$\cos \frac{1}{x}$有界，$x$趋近于0）。
  3. 分类间断点：根据左右极限是否存在且是否相等，判断间断点类型。

破题关键：

  • 左极限中$\frac{\sin x}{x}$的极限值为1，需注意$x$趋近于0时的符号不影响该极限。
  • 右极限中$x \cos \frac{1}{x}$的极限为0，需应用夹逼定理。

计算左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，$f(x) = x + \dfrac{\sin x}{x}$。
分解为两部分：

  1. $x$的极限：$\lim_{x \to 0^-} x = 0$；
  2. $\dfrac{\sin x}{x}$的极限：$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$（与$x$趋近方向无关）。
    因此，左极限为：
    $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 + 1 = 1.$

计算右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，$f(x) = x \cos \dfrac{1}{x}$。
由于$\cos \dfrac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，即：
$-1 \leq \cos \dfrac{1}{x} \leq 1.$
两边乘以$x$（$x > 0$）：
$- x \leq x \cos \dfrac{1}{x} \leq x.$
当$x \to 0^+$时，$-x \to 0$且$x \to 0$，根据夹逼定理：
$\lim_{x \to 0^+} x \cos \dfrac{1}{x} = 0.$
因此，右极限为：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0.$

判断间断点类型

  • 左极限为$1$，右极限为$0$，两者存在但不相等。
  • 函数在$x=0$处的值为$f(0) = 0$，与左右极限均不相等。
  • 结论：$x=0$是跳跃间断点（左右极限存在但不相等）。