以 z=0 为本性奇点的函数是（） A. (sin z)/(z)B. (1)/(z(z-1))C. (1-cos z)/(z^2)D. sin (1)/(z)

本性奇点的判断核心在于函数在该点的洛朗展开式中是否存在无限多个负幂次项。若展开式中仅有有限个负幂项，则为极点；若无负幂项，则为可去奇点。本题需逐一分析各选项在$z=0$处的展开形式，判断其奇点类型。

选项A：$\frac{\sin z}{z}$

• 泰勒展开：$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots$，因此$\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \cdots$。
• 结论：无负幂项，$z=0$为可去奇点。

选项B：$\frac{1}{z(z-1)}$

• 部分分式分解：$\frac{1}{z(z-1)} = -\frac{1}{z} + \frac{1}{z-1}$。
• 展开$\frac{1}{z-1}$：$\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{1-z} = -1 - z - z^2 - \cdots$。
• 整体展开：$-\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \cdots$。
• 结论：仅一个负幂项（$-\frac{1}{z}$），$z=0$为一阶极点。

选项C：$\frac{1-\cos z}{z^2}$

• 泰勒展开：$\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots$，因此$1-\cos z = \frac{z^2}{2!} - \frac{z^4}{4!} + \cdots$。
• 化简：$\frac{1-\cos z}{z^2} = \frac{1}{2!} - \frac{z^2}{4!} + \cdots$。
• 结论：无负幂项，$z=0$为可去奇点。

选项D：$\sin \frac{1}{z}$

• 泰勒展开：$\sin w = w - \frac{w^3}{3!} + \frac{w^5}{5!} - \cdots$，令$w = \frac{1}{z}$，得：
  $\sin \frac{1}{z} = \frac{1}{z} - \frac{1}{3! z^3} + \frac{1}{5! z^5} - \cdots$
• 结论：含无限多个负幂项，$z=0$为本性奇点。