1.判断下列命题是否正确并说明理由.-|||-(1)用高斯消元法解线性方程组时,对增广矩阵的初等变换,仅限于行及-|||-交换两列的变换;-|||-(2)无论是齐次还是非齐次线性方程组,只要系数矩阵的秩等于未知量的-|||-个数,就一定有唯一解;-|||-(3)若方程组系数矩阵的秩等于方程的个数,则方程组有解;-|||-(4)若方程组系数矩阵的秩小于方程的个数,则方程组有无穷多解;-|||-(5)非齐次线性方程组有唯一解时,方程的个数必等于未知量的个数;-|||-(6)n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系-|||-数矩阵满秩;-|||-(7)若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数,则该方程组有非零解;-|||-(8)3个方程4个未知量的线性方程组有无穷多解;-|||-(9)两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩;-|||-(10)两个皆为3个方程4个未知量的方程组,若它们的系数矩阵有相同-|||-的秩,则两个方程组同解.

考查要点：本题主要考查线性方程组解的理论，包括增广矩阵的秩、解的存在唯一性条件、齐次与非齐次方程组的区别、同解方程组的性质等核心概念。

解题思路：

1. 明确定理条件：如非齐次方程组有解的充要条件是$r(A)=r(\overline{A})$，齐次方程组有非零解的条件是$r(A)
2. 区分齐次与非齐次：部分命题对齐次成立但对非齐次不一定成立。
3. 关注变量关系：如方程个数、未知数个数与秩的关系，需结合具体定理判断。

第（1）题

正确。高斯消元法中，行变换和列交换均属于初等变换，不会改变方程组的解集，因此保持同解性。

第（2）题

不正确。

• 齐次方程组：若$r(A)=n$（未知数个数），则只有零解。
• 非齐次方程组：即使$r(A)=n$，若$r(\overline{A})>r(A)$，方程组无解。因此需同时满足$r(A)=r(\overline{A})$。

第（3）题

正确。

• 设方程个数为$m$，若$r(A)=m$，则$r(\overline{A}) \geq r(A)=m$，但$r(\overline{A}) \leq m$，故$r(\overline{A})=m=r(A)$，方程组有解。

第（4）题

不正确。

• 非齐次方程组：若$r(A)
• 齐次方程组：若$r(A)

第（5）题

不正确。

• 唯一解的充要条件是系数矩阵满秩（即$r(A)=n$），而非方程个数等于未知数个数。例如，$m>n$时可能存在唯一解。

第（6）题

正确。

• $n \times n$矩阵满秩（即行列式非零），方程组有唯一解（克拉默法则或矩阵可逆性）。

第（7）题

正确。

• 齐次方程组$A_{m \times n}x=0$，若$n>m$，则$r(A) \leq m < n$，由解空间维数公式得非零解存在。

第（8）题

不正确。

• 齐次方程组：$3$方程$4$未知数，$r(A) \leq 3 <4$，必有无穷解。
• 非齐次方程组：若$r(\overline{A}) \neq r(A)$，可能无解。

第（9）题

正确。

• 同解方程组的增广矩阵秩相同，因此系数矩阵秩也相同。

第（10）题

不正确。

• 系数矩阵秩相同但增广矩阵秩可能不同，导致解不同。例如，一个有解，另一个无解。