设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)= } 4x^3, & 0

考查要点：本题主要考查概率密度函数的积分应用，以及如何通过积分方程求解特定参数。

解题核心思路：
题目要求找到常数$a$，使得$P\{X > a\} = P\{X < a\}$。根据概率密度函数的定义，分别计算这两个概率并建立方程求解$a$。关键在于正确计算积分，并利用方程求解$a$的值。

破题关键点：

1. 积分计算：利用概率密度函数$f(x)$，分别计算$P\{X < a\}$和$P\{X > a\}$的积分表达式。
2. 方程建立：根据题目条件$P\{X > a\} = P\{X < a\}$，将两个积分结果联立，解出$a$的值。
3. 验证范围：确保解出的$a$在定义域$(0,1)$内。

步骤1：计算$P\{X < a\}$
根据概率密度函数，当$0 < a < 1$时：
$P\{X < a\} = \int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} 4x^3 \, dx = \left[ x^4 \right]_0^a = a^4.$

步骤2：计算$P\{X > a\}$
同理，当$0 < a < 1$时：
$P\{X > a\} = \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{a}^{1} 4x^3 \, dx = \left[ x^4 \right]_a^1 = 1 - a^4.$

步骤3：建立方程并求解
根据题意，$P\{X > a\} = P\{X < a\}$，即：
$1 - a^4 = a^4 \implies 2a^4 = 1 \implies a^4 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}.$

验证范围：
$\sqrt[4]{2} \approx 1.189$，因此$a = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \approx 0.841$，满足$0 < a < 1$，符合题意。