证明方程x⋅2x=1至少有一个小于1的正根．

考查要点：本题主要考查连续函数的零点存在性定理的应用，以及对方程根的存在性的证明方法。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式，即$f(x) = x \cdot 2^x - 1$。
2. 验证连续性：确认函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续。
3. 计算端点函数值：通过$f(0)$和$f(1)$的符号变化，应用零点存在性定理，证明存在根。

破题关键点：

• 正确构造函数是基础，需将方程整理为$f(x) = 0$的形式。
• 连续性是零点定理的前提条件，需明确说明函数的连续性。
• 端点值的符号判断是定理应用的核心，需准确计算$f(0)$和$f(1)$的值。

步骤1：构造函数
将方程$x \cdot 2^x = 1$变形为$x \cdot 2^x - 1 = 0$，定义函数：
$f(x) = x \cdot 2^x - 1$

步骤2：验证连续性
函数$f(x)$由$x$（多项式函数）和$2^x$（指数函数）相乘得到，两者均为连续函数，因此$f(x)$在区间$[0,1]$上连续。

步骤3：计算端点值

• 当$x = 0$时：
  $f(0) = 0 \cdot 2^0 - 1 = -1 < 0$
• 当$x = 1$时：
  $f(1) = 1 \cdot 2^1 - 1 = 1 > 0$

步骤4：应用零点存在性定理
由于$f(0) < 0$且$f(1) > 0$，且$f(x)$在$[0,1]$上连续，根据零点存在性定理，至少存在一点$c \in (0,1)$，使得$f(c) = 0$，即方程$x \cdot 2^x = 1$在$(0,1)$内至少有一个根。