题目
设随机变量 X sim N(mu, sigma^2)，利用切比雪夫不等式估计 P|X-mu|< 3sigma 是 A. leq (1)/(9);B. geq (1)/(9);C. geq (8)/(9);D. leq (8)/(9);
设随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，利用切比雪夫不等式估计 $P\{|X-\mu|< 3\sigma\}$ 是
- A. $\leq \frac{1}{9}$;
- B. $\geq \frac{1}{9}$;
- C. $\geq \frac{8}{9}$;
- D. $\leq \frac{8}{9}$;
题目解答
答案
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量 $X$，有
\[ P\{|X - \mu| \geq k\sigma\} \leq \frac{1}{k^2}. \]
取 $k = 3$，得
\[ P\{|X - \mu| \geq 3\sigma\} \leq \frac{1}{9}. \]
因此，
\[ P\{|X - \mu| < 3\sigma\} = 1 - P\{|X - \mu| \geq 3\sigma\} \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}. \]
答案：$\boxed{C}$
解析
步骤 1：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量 $X$，其期望值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，对于任意正数 $k$，有 \[ P\{|X - \mu| \geq k\sigma\} \leq \frac{1}{k^2}. \]
步骤 2：确定 $k$ 的值
题目中要求估计 $P\{|X-\mu|< 3\sigma\}$，因此我们取 $k = 3$，代入切比雪夫不等式中，得到 \[ P\{|X - \mu| \geq 3\sigma\} \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}. \]
步骤 3：计算 $P\{|X-\mu|< 3\sigma\}$
根据概率的互补性质，有 \[ P\{|X - \mu| < 3\sigma\} = 1 - P\{|X - \mu| \geq 3\sigma\} \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}. \]
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量 $X$，其期望值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，对于任意正数 $k$，有 \[ P\{|X - \mu| \geq k\sigma\} \leq \frac{1}{k^2}. \]
步骤 2：确定 $k$ 的值
题目中要求估计 $P\{|X-\mu|< 3\sigma\}$，因此我们取 $k = 3$，代入切比雪夫不等式中，得到 \[ P\{|X - \mu| \geq 3\sigma\} \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}. \]
步骤 3：计算 $P\{|X-\mu|< 3\sigma\}$
根据概率的互补性质，有 \[ P\{|X - \mu| < 3\sigma\} = 1 - P\{|X - \mu| \geq 3\sigma\} \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}. \]