题目
若矩阵neq 0 neq 0,则neq 0 neq 0。 ( )
若矩阵
,则
。 ( )
,则。 ( )题目解答
答案
×;
解析
步骤 1：定义矩阵乘法
矩阵乘法定义为两个矩阵相乘，其结果是一个新的矩阵，其中每个元素是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的点积。
步骤 2：考虑矩阵的零矩阵
零矩阵是一个所有元素都为零的矩阵。如果一个矩阵乘以零矩阵，结果总是零矩阵。
步骤 3：构造反例
考虑两个非零矩阵$A$和$B$，其中$A$的列数等于$B$的行数。如果$A$的列向量与$B$的行向量正交（即点积为零），则$AB$的结果矩阵可以是零矩阵。
步骤 4：验证反例
例如，考虑两个$2\times 2$矩阵$A$和$B$，其中$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$。$A$和$B$都不是零矩阵，但$AB=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，即$AB$是零矩阵。
矩阵乘法定义为两个矩阵相乘，其结果是一个新的矩阵，其中每个元素是第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的点积。
步骤 2：考虑矩阵的零矩阵
零矩阵是一个所有元素都为零的矩阵。如果一个矩阵乘以零矩阵，结果总是零矩阵。
步骤 3：构造反例
考虑两个非零矩阵$A$和$B$，其中$A$的列数等于$B$的行数。如果$A$的列向量与$B$的行向量正交（即点积为零），则$AB$的结果矩阵可以是零矩阵。
步骤 4：验证反例
例如，考虑两个$2\times 2$矩阵$A$和$B$，其中$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$。$A$和$B$都不是零矩阵，但$AB=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，即$AB$是零矩阵。