题目
10、设一批零件的长度服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ,σ均未知，现从中随机抽取25个零件，测得样本均值overline(x)=24(cm)，样本标准差s=1(cm)，则μ的置信度为0.90的置信区间是（）(1) (24-(1)/(5)t0.05(25),24+(1)/(5)t0.05(25))(2) (24-(1)/(5)t0.1(25),24+(1)/(5)t0.1(25))(3) (24-(1)/(5)t0.05(24),24+(1)/(5)t0.05(24))(4) (24-(1)/(5)t0.1(24),24+(1)/(5)t0.1(24))(1分)A (3)B (2)C (4)D (1)
10、
设一批零件的长度服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ,σ均未知，现从中随机抽取25个零件，测得样本均值
$\overline{x}=24(cm)$，样本标准差s=1(cm)，则μ的置信度为0.90的置信区间是（）
(1) (24-$\frac{1}{5}$t0.05(25),24+$\frac{1}{5}$t0.05(25))
(2) (24-$\frac{1}{5}$t0.1(25),24+$\frac{1}{5}$t0.1(25))
(3) (24-$\frac{1}{5}$t0.05(24),24+$\frac{1}{5}$t0.05(24))
(4) (24-$\frac{1}{5}$t0.1(24),24+$\frac{1}{5}$t0.1(24))
(1分)
A (3)
B (2)
C (4)
D (1)
题目解答
答案
为了确定正态分布总体均值$\mu$的置信度为0.90的置信区间，其中总体标准差$\sigma$未知，我们使用t分布。置信区间的公式为：
\[
\left( \overline{x} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \right)
\]
其中：
- $\overline{x}$是样本均值，
- $t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的上$\alpha/2$分位数，自由度为$n-1$，
- $s$是样本标准差，
- $n$是样本大小。
在这个问题中：
- $\overline{x} = 24$ cm，
- $s = 1$ cm，
- $n = 25$，
- 置信水平为0.90，所以$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$，且$\alpha/2 = 0.05$。
自由度为$n-1 = 24$。因此，置信区间为：
\[
\left( 24 - t_{0.05, 24} \frac{1}{\sqrt{25}}, 24 + t_{0.05, 24} \frac{1}{\sqrt{25}} \right)
\]
由于$\frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$，置信区间简化为：
\[
\left( 24 - \frac{1}{5} t_{0.05, 24}, 24 + \frac{1}{5} t_{0.05, 24} \right)
\]
这与选项(3)相匹配。因此，正确答案是：
\[
\boxed{A}
\]
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
由于总体标准差$\sigma$未知，我们使用t分布来计算总体均值$\mu$的置信区间。置信区间的公式为：
\[ \left( \overline{x} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \]
其中，$\overline{x}$是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的上$\alpha/2$分位数，自由度为$n-1$，$s$是样本标准差，$n$是样本大小。
步骤 2：代入已知值
在本题中，样本均值$\overline{x} = 24$ cm，样本标准差$s = 1$ cm，样本大小$n = 25$，置信水平为0.90，所以$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$，且$\alpha/2 = 0.05$。自由度为$n-1 = 24$。因此，置信区间为：
\[ \left( 24 - t_{0.05, 24} \frac{1}{\sqrt{25}}, 24 + t_{0.05, 24} \frac{1}{\sqrt{25}} \right) \]
步骤 3：简化置信区间
由于$\frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$，置信区间简化为：
\[ \left( 24 - \frac{1}{5} t_{0.05, 24}, 24 + \frac{1}{5} t_{0.05, 24} \right) \]
由于总体标准差$\sigma$未知，我们使用t分布来计算总体均值$\mu$的置信区间。置信区间的公式为：
\[ \left( \overline{x} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}, \overline{x} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \]
其中，$\overline{x}$是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$是t分布的上$\alpha/2$分位数，自由度为$n-1$，$s$是样本标准差，$n$是样本大小。
步骤 2：代入已知值
在本题中，样本均值$\overline{x} = 24$ cm，样本标准差$s = 1$ cm，样本大小$n = 25$，置信水平为0.90，所以$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$，且$\alpha/2 = 0.05$。自由度为$n-1 = 24$。因此，置信区间为：
\[ \left( 24 - t_{0.05, 24} \frac{1}{\sqrt{25}}, 24 + t_{0.05, 24} \frac{1}{\sqrt{25}} \right) \]
步骤 3：简化置信区间
由于$\frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$，置信区间简化为：
\[ \left( 24 - \frac{1}{5} t_{0.05, 24}, 24 + \frac{1}{5} t_{0.05, 24} \right) \]