[题目]设函数 y=y(x) 由方程 ^y+xy=e 所确定,求-|||-y"(0)

考查要点：本题主要考查隐函数的高阶导数计算，需要掌握隐函数求导法则及链式法则的应用。

解题核心思路：

1. 确定初始条件：代入$x=0$到原方程，求出对应的$y$值。
2. 一阶导数：对原方程两边关于$x$求导，解出$y'$的表达式，并代入$x=0$和$y=1$求出$y'(0)$。
3. 二阶导数：对一阶导数的方程再次求导，整理后解出$y''$的表达式，代入已知条件计算$y''(0)$。

破题关键点：

• 隐函数求导时需注意链式法则和乘积法则的正确应用。
• 代入条件时需确保所有变量均替换为$x=0$、$y=1$及已求得的$y'(0)$。

步骤1：确定初始条件

将$x=0$代入原方程$e^y + xy = e$，得：
$e^y = e \implies y = 1.$

步骤2：求一阶导数$y'$

对原方程两边关于$x$求导：
$e^y \cdot y' + y + x \cdot y' = 0.$
整理得：
$y'(e^y + x) = -y \implies y' = -\frac{y}{e^y + x}.$
代入$x=0$，$y=1$：
$y'(0) = -\frac{1}{e^1 + 0} = -\frac{1}{e}.$

步骤3：求二阶导数$y''$

对一阶导数的方程再次求导：
$e^y (y')^2 + e^y y'' + y' + y' + x y'' = 0.$
整理得：
$y''(e^y + x) = -\left[e^y (y')^2 + 2y'\right].$
代入$x=0$，$y=1$，$y'=-\frac{1}{e}$：
$y''(0) = -\frac{e \left(-\frac{1}{e}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{e}\right)}{e} = \frac{1}{e^2}.$