题目
6.下列各题中均假定f'(x0)存在,按照导数定义观察下列极限,指出A表-|||-示什么:-|||-(1) lim _(Delta xarrow 0)dfrac (f({x)_(0)-Delta x)-f((x)_(0))}(Delta x)=A ;-|||-(2) lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(x)=A ,其中 f(0)=0 ,且f'(0)存在;-|||-(3) lim _(harrow 0)dfrac (f({x)_(0)+h)-f((x)_(0)-h)}(h)=A .
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析(1)中的极限
$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}-\Delta x)-f({x}_{0})}{\Delta x}$ 可以通过代换 $\Delta x = -\Delta x$ 来转换为导数的定义形式。
步骤 2：转换(1)中的极限
$A=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}-\Delta x)-f({x}_{0})}{\Delta x}=-\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+(-\Delta x))-f({x}_{0})}{-\Delta x}=-f'({x}_{0})$
步骤 3：分析(2)中的极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$ 可以通过导数的定义来解释，因为 f(0)=0。
步骤 4：转换(2)中的极限
$A=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$
步骤 5：分析(3)中的极限
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+h)-f({x}_{0}-h)}{h}$ 可以通过导数的定义来解释，但需要注意到分子是两个函数值的差。
步骤 6：转换(3)中的极限
$A=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+h)-f({x}_{0}-h)}{h}=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+h)-f({x}_{0})+f({x}_{0})-f({x}_{0}-h)}{h}$
$=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+h)-f({x}_{0})}{h}+\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0})-f({x}_{0}-h)}{h}$
$=f'({x}_{0})+f'({x}_{0})=2f'({x}_{0})$
$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}-\Delta x)-f({x}_{0})}{\Delta x}$ 可以通过代换 $\Delta x = -\Delta x$ 来转换为导数的定义形式。
步骤 2：转换(1)中的极限
$A=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}-\Delta x)-f({x}_{0})}{\Delta x}=-\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+(-\Delta x))-f({x}_{0})}{-\Delta x}=-f'({x}_{0})$
步骤 3：分析(2)中的极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$ 可以通过导数的定义来解释，因为 f(0)=0。
步骤 4：转换(2)中的极限
$A=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$
步骤 5：分析(3)中的极限
$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+h)-f({x}_{0}-h)}{h}$ 可以通过导数的定义来解释，但需要注意到分子是两个函数值的差。
步骤 6：转换(3)中的极限
$A=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+h)-f({x}_{0}-h)}{h}=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+h)-f({x}_{0})+f({x}_{0})-f({x}_{0}-h)}{h}$
$=\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0}+h)-f({x}_{0})}{h}+\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f({x}_{0})-f({x}_{0}-h)}{h}$
$=f'({x}_{0})+f'({x}_{0})=2f'({x}_{0})$