设随机变量X与Y独立同分布，且P(X=k)=p(1-p)^k-1，k=1,2,...，其中0<1。令:U=max(X,Y)，V=min(X,Y)求（1）(U,V)的联合分布律；（2）U和V的边缘概率密度；（3）U和V是否相互独立。

考查要点：本题主要考查几何分布的独立随机变量的极值分布，涉及联合分布律、边缘分布律的求解，以及独立性判断。

解题核心思路：

1. 联合分布律：通过分析$U=\max(X,Y)$和$V=\min(X,Y)$的可能取值关系，分情况讨论$i > j$和$i = j$的概率。
2. 边缘分布律：对联合分布律按行或列求和，注意几何级数的求和技巧。
3. 独立性判断：通过验证$P(U=i, V=j) = P(U=i)P(V=j)$是否恒成立。

破题关键点：

• 几何分布的独立性：利用$X$与$Y$独立，将联合事件分解为$X$和$Y$的组合。
• 极值的对称性：当$U=i$且$V=j$时，需考虑两种情况：$i > j$（两种排列）和$i = j$（唯一情况）。

第（1）题：联合分布律

情况1：$i > j$

当$U=i$且$V=j$时，有两种可能：

1. $X=i$且$Y=j$；
2. $X=j$且$Y=i$。

由于$X$与$Y$独立，概率为：
$P(X=i,Y=j) + P(X=j,Y=i) = 2p^2(1-p)^{i+j-2}.$

情况2：$i = j$

当$U=i$且$V=j=i$时，需$X=i$且$Y=i$，概率为：
$P(X=i,Y=i) = p^2(1-p)^{2i-2}.$

综上，联合分布律为：
$P(U=i, V=j) = \begin{cases} 2p^2(1-p)^{i+j-2}, & i > j, \\p^2(1-p)^{2i-2}, & i = j.\end{cases}$

第（2）题：边缘分布律

求$P(U=i)$

对$V=j$求和：
$P(U=i) = \sum_{j=1}^{i} P(U=i, V=j).$

• 当$j < i$时，$P(U=i, V=j) = 2p^2(1-p)^{i+j-2}$；
• 当$j = i$时，$P(U=i, V=i) = p^2(1-p)^{2i-2}$。

通过几何级数求和化简得：
$P(U=i) = 2p(1-p)^{i-1} - p(2-p)(1-p)^{2i-2}.$

求$P(V=j)$

对$U=i$求和：
$P(V=j) = \sum_{i=j}^{\infty} P(U=i, V=j).$

• 当$i = j$时，$P(U=j, V=j) = p^2(1-p)^{2j-2}$；
• 当$i > j$时，$P(U=i, V=j) = 2p^2(1-p)^{i+j-2}$。

通过几何级数求和化简得：
$P(V=j) = (1-p)^{2j-2}(2p - p^2).$

第（3）题：独立性判断

若$U$和$V$独立，则对任意$i,j$有：
$P(U=i, V=j) = P(U=i)P(V=j).$
取反例验证：

• 当$i = j = 1$时，$P(U=1, V=1) = p^2$；
• $P(U=1) = 2p(1-p)^{0} - p(2-p)(1-p)^{0} = 2p - (2-p)p = p^2$；
• $P(V=1) = (1-p)^{0}(2p - p^2) = 2p - p^2$；
• 若独立，则$p^2 = p^2 \cdot (2p - p^2)$，仅当$p=0$或$p=1$成立，与$0 < p < 1$矛盾。

结论：$U$和$V$不独立。