题目

已知一元二次函数的图像的顶点坐标为，并且经过点，求：(1)函数的解析式；(2)函数图像的对称轴；(3)函数单调递减的区间。

已知一元二次函数 $f\left(x\right)$ 的图像的顶点坐标为 $\left(1,2\right)$ ，并且经过点 $P\left(3,-4\right)$ ，求：

(1)函数 $f\left(x\right)$ 的解析式；

(2)函数图像的对称轴；

(3)函数单调递减的区间。

题目解答

答案

(1)

一元二次函数有三种表达式：

通用式： $f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)$

顶点式： $f\left(x\right)=a\left(x-h\right)^2+k\left(a\ne0\right)$

双根式： $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(a\ne0\right)$

题设给出了顶点坐标，

因此可以设一元二次函数为顶点式：

$f\left(x\right)=a\left(x-h\right)^2+k\left(a\ne0\right)$

其中 $h$ 是一元二次函数的顶点横坐标， $k$ 是一元二次函数的顶点纵坐标。

因为顶点坐标为 $\left(1,2\right)$ ，

所以一元二次函数为：

$f\left(x\right)=a\left(x-1\right)^2+2\left(a\ne0\right)$

又因为点 $P\left(3,-4\right)$ 在 $f\left(x\right)$ 上，

所以 $f\left(3\right)=a\left(3-1\right)^2+2=4$

解得 $a=\frac{1}{2}$

所以函数 $f\left(x\right)$ 的解析式为：

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+2$

(2)

一元二次函数 $f\left(x\right)$ 的对称轴为顶点 $\left(1,2\right)$ 所在的横坐标并与x轴垂直的直线，

所以函数图像的对称轴为 $x=1$

(3)

由 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+2$ 求导得

$f'\left(x\right)=x-1$

令 $f'\left(x\right)<0$ ，即 $x-1<0$ ，

得到 $x<1$

所以函数单调递减的区间为 $\left(-\infty,1\right)$

解析

步骤 1：确定一元二次函数的顶点式
一元二次函数的顶点式为$f(x)=a{(x-h)}^{2}+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标。根据题目，顶点坐标为$(1,2)$，所以函数可以表示为$f(x)=a{(x-1)}^{2}+2$。

步骤 2：利用点P(3,-4)求解系数a
因为点P(3,-4)在函数图像上，所以$f(3)=-4$。将$x=3$代入$f(x)=a{(x-1)}^{2}+2$，得到$-4=a{(3-1)}^{2}+2$。解这个方程可以得到$a$的值。

步骤 3：求解对称轴
一元二次函数的对称轴是顶点的横坐标，即$x=h$。根据题目，顶点的横坐标为1，所以对称轴为$x=1$。

步骤 4：求解单调递减区间
一元二次函数的单调性由其导数决定。对$f(x)=a{(x-1)}^{2}+2$求导，得到$f'(x)=2a(x-1)$。当$f'(x)<0$时，函数单调递减。根据$a$的值，可以确定单调递减的区间。