题目
设随机变量 (X,Y)sim N(0,0,1,4,rho ), (2X-Y)=1, 则 rho = __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量的期望和方差
由二维正态分布的性质，我们有 E(X)=0 ,D(X)=1 ,E(Y)=0 ,D(Y)=4 。
步骤 2：计算 D(2X-Y)
根据方差的性质，我们有 D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y) 。将已知的方差值代入，得到 4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)=1 。将 D(X)=1 和 D(Y)=4 代入，得到 4*1+4-4Cov(X,Y)=1 ，即 8-4Cov(X,Y)=1 ，从而得到 Cov(X,Y)=\dfrac {7}{4} 。
步骤 3：计算相关系数 $\rho$
相关系数 $\rho$ 的定义为 $\rho =\dfrac {{C}_{0}V(X,Y)}{\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Y)}}$ 。将 Cov(X,Y)=\dfrac {7}{4} ，D(X)=1 和 D(Y)=4 代入，得到 $\rho =\dfrac {\dfrac {7}{4}}{\sqrt {1}\sqrt {4}}=\dfrac {7}{8}$ 。
由二维正态分布的性质，我们有 E(X)=0 ,D(X)=1 ,E(Y)=0 ,D(Y)=4 。
步骤 2：计算 D(2X-Y)
根据方差的性质，我们有 D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y) 。将已知的方差值代入，得到 4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)=1 。将 D(X)=1 和 D(Y)=4 代入，得到 4*1+4-4Cov(X,Y)=1 ，即 8-4Cov(X,Y)=1 ，从而得到 Cov(X,Y)=\dfrac {7}{4} 。
步骤 3：计算相关系数 $\rho$
相关系数 $\rho$ 的定义为 $\rho =\dfrac {{C}_{0}V(X,Y)}{\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Y)}}$ 。将 Cov(X,Y)=\dfrac {7}{4} ，D(X)=1 和 D(Y)=4 代入，得到 $\rho =\dfrac {\dfrac {7}{4}}{\sqrt {1}\sqrt {4}}=\dfrac {7}{8}$ 。