非齐次线性方程组 ⎧⎩⎨⎪⎪λx1+x2+x3=1x1+λx2+x3=λx1+x2+λx3=λ2 有唯一解时，对 λ 的要求是 () A. λ≠1 ， λ≠2 B. λ≠−1 ， λ≠2 C. λ≠1 ， λ≠−2 D. λ≠−1 ， λ≠−2

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组有唯一解的条件，即系数矩阵的行列式不为零。需要计算系数矩阵的行列式，并求出其非零时的参数范围。

解题核心思路：

1. 构造系数矩阵，写出其行列式表达式。
2. 计算行列式，通过因式分解或展开式化简，找到行列式为零的条件。
3. 排除使行列式为零的参数值，确定方程组有唯一解的条件。

破题关键点：

• 行列式的计算是关键步骤，需注意行列式的展开或利用特殊矩阵的性质简化计算。
• 因式分解可快速确定行列式的零点，从而得到参数的限制条件。

步骤1：构造系数矩阵
方程组的系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 1 \\1 & \lambda & 1 \\1 & 1 & \lambda\end{pmatrix}$

步骤2：计算行列式
行列式 $|A|$ 的计算可通过展开或行变换简化。观察矩阵结构，可直接展开：
$\begin{aligned}|A| &= \lambda \cdot (\lambda \cdot \lambda - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot \lambda - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - \lambda \cdot 1) \\&= \lambda (\lambda^2 - 1) - (\lambda - 1) + (1 - \lambda) \\&= \lambda^3 - \lambda - \lambda + 1 + 1 - \lambda \\&= \lambda^3 - 3\lambda + 2.\end{aligned}$

步骤3：因式分解
将多项式 $\lambda^3 - 3\lambda + 2$ 分解：

1. 试根法：$\lambda = 1$ 是根，故分解为 $(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda - 2)$。
2. 继续分解二次项：$\lambda^2 + \lambda - 2 = (\lambda + 2)(\lambda - 1)$。
   最终得：
   $|A| = (\lambda - 1)^2 (\lambda + 2).$

步骤4：确定行列式非零条件
当 $|A| \neq 0$ 时，方程组有唯一解，因此：
$\lambda \neq 1 \quad \text{且} \quad \lambda \neq -2.$