设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= { ,0lt ylt 2 0, .

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度的计算，以及积分区域的确定。

解题核心思路：

1. 确定常数c：根据概率密度的归一化条件，对联合密度函数在定义域内积分等于1，求出常数c。
2. 求边缘密度f₁(y)：对联合密度函数关于x积分，注意积分上下限随y变化的关系，确定不同y值对应的x范围。

破题关键点：

• 积分区域分析：原联合密度的定义域为0 < x < 1，0 < y < 2x，需转换积分顺序或分析x与y的关系。
• 分段讨论：根据y的取值范围（0到2），确定x的积分上下限为y/2到1。

步骤1：确定常数c

联合密度函数满足归一化条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx dy = 1$
在定义域内，积分区域为0 < x < 1，0 < y < 2x，因此：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} c \, dy dx = c \int_{0}^{1} 2x \, dx = c \left[ x^2 \right]_0^1 = c = 1 \implies c = 1$

步骤2：求边缘密度f₁(y)

边缘密度f₁(y)为：
$f_1(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$
在定义域内，当0 < y < 2时，x需满足y/2 < x < 1（因y < 2x），因此：
$f_1(y) = \int_{y/2}^{1} 1 \, dx = 1 - \frac{y}{2}$
当y超出0到2范围时，f₁(y) = 0。