计算不定积分int ln (1+sqrt (x))dx

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及分部积分法和变量替换法的综合应用，重点在于对复杂积分形式的简化处理。

解题核心思路：

1. 变量替换：令$t = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$t$的积分，简化表达式。
2. 分部积分法：对$\ln(1+t)$与多项式函数的乘积进行分部积分，降低积分复杂度。
3. 分式分解：将分式$\frac{t^2}{1+t}$分解为多项式与简单分式的和，便于逐项积分。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量，将根号表达式转化为多项式形式。
• 灵活应用分部积分法，合理选择$u$和$dv$，避免循环积分。
• 正确分解分式，确保后续积分步骤的可行性。

变量替换：令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t \, dt$，原积分变为：
$\int \ln(1+\sqrt{x}) \, dx = \int \ln(1+t) \cdot 2t \, dt.$

分部积分法：
设$u = \ln(1+t)$，$dv = 2t \, dt$，则$du = \frac{1}{1+t} dt$，$v = t^2$。根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
$\begin{aligned}\int \ln(1+t) \cdot 2t \, dt &= t^2 \ln(1+t) - \int t^2 \cdot \frac{1}{1+t} \, dt \\&= t^2 \ln(1+t) - \int \frac{t^2}{1+t} \, dt.\end{aligned}$

分式分解：将$\frac{t^2}{1+t}$分解为多项式与简单分式：
$\frac{t^2}{1+t} = t - 1 + \frac{1}{1+t}.$

逐项积分：
$\begin{aligned}\int \frac{t^2}{1+t} \, dt &= \int (t - 1) \, dt + \int \frac{1}{1+t} \, dt \\&= \frac{t^2}{2} - t + \ln|1+t| + C.\end{aligned}$

代回原式：
$\begin{aligned}\int \ln(1+\sqrt{x}) \, dx &= t^2 \ln(1+t) - \left( \frac{t^2}{2} - t + \ln(1+t) \right) + C \\&= t^2 \ln(1+t) - \frac{t^2}{2} + t - \ln(1+t) + C.\end{aligned}$

变量还原：将$t = \sqrt{x}$代回，整理得：
$(x - 1)\ln(1+\sqrt{x}) + \sqrt{x} - \frac{x}{2} + C.$