题目

阅读材料4．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J．Napier，1550-1617)，1614年，纳皮尔出版了《奇妙的对数》，在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机；没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者了，这不仅浪费时间，而且容易出错是，因此，我开始考虑怎样消除这些障碍，经过长时间的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则... ... 对数b=({log )_(a)}m是实数，其中b，a，m的关系是m=({a)^b}，对数具有一种奇妙的性质：可以把高一级的乘、除、乘方、开方运算分别转化为低一级的加、减、乘、除运算．进行大量的计算时，对数的这种功能可使计算的效率成倍地提高．比如计算({2)^64}的近似值，若用64个2连乘，其繁琐与费时可以想象，如果利用对数的定义和运算公式，可以操作如下：因为lg ({2)^64}=64cdot lg 2approx 64times 0.3010=19.2640，再利用对数表查表规则，查出0.2640approx lg 1.836，于是19.2640=0.2640+19=lg 1.836+19=lg (1.836times ({10)^19})，可得({2)^64}的近似值为1.836times ({10)^19}，就可以体会到对数的数字计算上的优越性！请依据上述材料，完成下列问题：写出你知道的对数运算公式(至少3个)．利用阅读材料4，计算({log )_(2)}5的近似值；(计算过程精确到0.0001，结果精确到0.01)．利用阅读材料4提供的思想和方法计算sqrt[3](3472)的近似值．(计算过程精确到0.0001，结果精确到0.01)．附件．对数用表(部分及查表说明)一、使用说明1．整数部分是一位非零数字．lg 2.573：在第1列找25再横行找“7”为4099，修正值“3”为5．所以lg 2.573approx 0.4099+0.0005=0.4104．2．整数部分不是一位非零数字的．用科学记数法表示Ntimes ({10)^n}．lg 25730=lg (2.573times ({10)^4})=lg 2.573+4=4.4104lg 0.222573=lg (2.573times ({10)^-3})=lg 2.573+(-3)=-2.5896．3．查反对数时，正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置．6.4104：由0.4104查出0.4104=lg 2.573．则6.4104=lg 2.573+6=lg (2.573times ({10)^6})=lg 2573000．负的对数化负整数+正纯小数，再同样查．二、对数用表(部分)log 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表尾差(修正值)-|||-1 2 3 4 5 6 7 8 9-|||-15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 3 6 8 11 |14|17 021|25|-|||-6 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 3 5 6 11 13 16 18 21 |24|-|||-7 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 2 |5|7|10|12|15|17|20|22|-|||-7 10 12 1517 20 22-|||-8 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 2 5 7 9 2|14|16| |1|||1|-|||-9 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 2 4 7 9 11 |13|16| 18 20-|||-03010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 2 4 |6|8|11|13|15|17|19-|||-8 11 13 15 17 19-|||-21|3222|324 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 2 4 6 8 0| 2|14| 6|18|-|||-3222 3243-|||-5 6-|||-1903 1931 1959-|||-2175 2201 2227-|||-2430 2455 2480-|||-2672 2695 2718-|||-2900 2923 2945-|||-3118 3139 3160-|||-3324 3345 3365-|||-3522 3541 3560-|||-3711 3729 3747-|||-3892 3909-|||-4065 4082 4099-|||-4232 4249 4265-|||-4393 4409 4425-|||-4548 4564 4579-|||-4698 4713 4728-|||-843 4857 4871-|||-4983 3997 5011-|||-5119 5132 5145-|||-5250 5263 5276-|||-5378 5391 5403-|||-5502 5514 5527-|||-5623 5635-|||-5740 5752 5763-|||-5855 5866 5877-|||-5966 5977 5988-|||-6075 6085 6096-|||-8-|||-1987-|||-2253-|||-2504-|||-2742-|||-2967-|||-3181-|||-3385-|||-3579-|||-3766-|||-3945-|||-4116-|||-4281-|||-4440-|||-4594-|||-4742-|||-4886-|||-5024-|||-5159-|||-5289-|||-5416-|||-5539-|||-5658-|||-5775-|||-5888-|||-5999-|||-6107-|||-6 7-|||-1931 1959 1987-|||-2201 2227 2253-|||-2455 2480 2504-|||-2695 2718 2742-|||-2923 2945 2967-|||-3139 3160 3181-|||-3345 3365 3385-|||-3541 3560 3579-|||-3729 3747 3766-|||-3909 927 3945-|||-4082 4099 4116-|||-4249 4265 4281-|||-4409 4425 4440-|||-4564 4579 4594-|||-4713 4728 4742-|||-4857 4871 4886-|||-3997 5011 5024-|||-5132 5145 5159-|||-5263 5276 5289-|||-5391 5403 5416-|||-5514 5527 5539-|||-5635 647 5658-|||-5752 5763 5775-|||-5866 5877 5888-|||-5977 5988 5999-|||-6085 6096 6107-|||-21|3222|324 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404-|||-3222 3243-|||-2|3424|344 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 2 4 |6|8|10|12|13|15|17|-|||-3424 3444 8 10|12|13 1517-|||-3 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6|7|9|1131517-|||-7 9 11 13 1517-|||-4 3802 3820 3838 3856| 3874 3892 3909 927 3945 3962 2 4 6 7 9 112 |14|16-|||-25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 23|5|9|1012|14|15-|||-5 7 9 10 12 |14|15-|||-26|4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 2 3 5 7 8|10|11|13| 15-|||-4150-|||-27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 2 3 5 6 8 9 11 13 4-|||-28 8|4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 2 3 5 6 8 9 11 2 4-|||-29|4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4557 1 3 4 6 7 9 0 2 13-|||-4624-|||-0 4771 4786 4800 4814 4829 843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13|-|||-1 4914 4928 4942 4955 4969 4983 3997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 0 11 2-|||-2 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 2-|||-5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 2-|||-0 4771 4786 4800 4814 4829 843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13|-|||-1 4914 4928 4942 4955 4969 4983 3997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 0 11 2-|||-2 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 2-|||-3 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 2-|||-4 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 1 3 4 5 6 8 9 9 11-|||-5|5441|6453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 1 2 4 5 6 7 9 10 11-|||-6453-|||-6 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 647 5658 5670 1 2 4 5-|||-7 5682 5694 4705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5986 1 2 3 5 6 7 8 10 11-|||-8 9 0-|||-8 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 1 2 3 5 6 7 8 9 0-|||-9 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 1 2 3 4 5 7 8 9 0-|||-40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 1 2 3 4 5 6 7 9 0

阅读材料$4$．对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J．$Napier$，$1550-1617$)，$1614$年，纳皮尔出版了《奇妙的对数》，在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机；没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者了，这不仅浪费时间，而且容易出错是，因此，我开始考虑怎样消除这些障碍，经过长时间的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则$\cdots \cdots $

对数$b={{\log }_{a}}m$是实数，其中$b$，$a$，$m$的关系是$m={{a}^{b}}$，对数具有一种奇妙的性质：可以把高一级的乘、除、乘方、开方运算分别转化为低一级的加、减、乘、除运算．进行大量的计算时，对数的这种功能可使计算的效率成倍地提高．

比如计算${{2}^{64}}$的近似值，若用$64$个$2$连乘，其繁琐与费时可以想象，如果利用对数的定义和运算公式，可以操作如下：

因为$\lg {{2}^{64}}=64\cdot \lg 2\approx 64\times 0.3010=19.2640$，再利用对数表查表规则，查出

$0.2640\approx \lg 1.836$，于是$19.2640=0.2640+19=\lg 1.836+19=\lg (1.836\times {{10}^{19}})$，

可得${{2}^{64}}$的近似值为$1.836\times {{10}^{19}}$，就可以体会到对数的数字计算上的优越性！

请依据上述材料，完成下列问题：

写出你知道的对数运算公式(至少$3$个)．

利用阅读材料$4$，计算${{\log }_{2}}5$的近似值；(计算过程精确到$0.0001$，结果精确到$0.01$)．

利用阅读材料$4$提供的思想和方法计算$\sqrt[3]{3472}$的近似值．(计算过程精确到$0.0001$，结果精确到$0.01$)．

附件．对数用表(部分及查表说明)

一、使用说明

1．整数部分是一位非零数字．

$\lg 2.573$：在第$1$列找$25$再横行找“$7$”为$4099$，修正值“$3$”为$5$．

所以$\lg 2.573\approx 0.4099+0.0005=0.4104$．

2．整数部分不是一位非零数字的．用科学记数法表示$N\times {{10}^{n}}$．

$\lg 25730=\lg (2.573\times {{10}^{4}})=\lg 2.573+4=4.4104$

$\lg 0.222573=\lg (2.573\times {{10}^{-3}})=\lg 2.573+(-3)=-2.5896$．

3．查反对数时，正小数部分查表，整数部分决定小数点的位置．

$6.4104$：由$0.4104$查出$0.4104=\lg 2.573$．

则$6.4104=\lg 2.573+6=\lg (2.573\times {{10}^{6}})=\lg 2573000$．

负的对数化负整数$+$正纯小数，再同样查．

二、对数用表(部分)

题目解答

答案

(1)
${{\log }_{a}}(MN)={{\log }_{a}}M+{{\log }_{a}}N$；
${{\log }_{a}}\frac{M}{N}={{\log }_{a}}M-{{\log }_{a}}N$；
${{\log }_{a}}{{M}^{n}}=n{{\log }_{a}}M$．
(2)
$2.32$．
(3)
$15.14$．

解析

步骤 1：写出对数运算公式
对数运算公式包括：
1. ${{\log }_{a}}(MN)={{\log }_{a}}M+{{\log }_{a}}N$；
2. ${{\log }_{a}}\frac{M}{N}={{\log }_{a}}M-{{\log }_{a}}N$；
3. ${{\log }_{a}}{{M}^{n}}=n{{\log }_{a}}M$．
步骤 2：计算${{\log }_{2}}5$的近似值
首先，利用换底公式将${{\log }_{2}}5$转换为以$10$为底的对数形式，即${{\log }_{2}}5=\frac{\lg 5}{\lg 2}$．
根据对数表，$\lg 5\approx 0.6990$，$\lg 2\approx 0.3010$．
因此，${{\log }_{2}}5\approx \frac{0.6990}{0.3010}\approx 2.32$．
步骤 3：计算$\sqrt[3]{3472}$的近似值
首先，将$3472$表示为$3.472\times {{10}^{3}}$．
根据对数表，$\lg 3.472\approx 0.5406$．
因此，$\lg 3472=\lg (3.472\times {{10}^{3}})=\lg 3.472+3=3.5406$．
根据对数的性质，$\lg \sqrt[3]{3472}=\frac{1}{3}\lg 3472=\frac{1}{3}\times 3.5406\approx 1.1802$．
查对数表，$1.1802\approx \lg 15.14$．
因此，$\sqrt[3]{3472}\approx 15.14$．