【题目】某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005Ω,今在生产的一批导线中取样品9根,测得 s=0.007Ω ,设总体为正态分布,参数均未知.问在显著性水平 α=0.05 下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?

考查要点：本题主要考查方差的假设检验，涉及卡方检验的应用，需要根据样本数据判断总体方差是否显著超过给定值。

解题核心思路：

1. 确定假设形式：由于题目关注标准差是否“偏大”，需建立单边检验，原假设为$H_0: \sigma \leq 0.005$，备择假设为$H_1: \sigma > 0.005$。
2. 选择检验统计量：总体正态且方差未知时，使用基于样本方差的卡方统计量：
   $X^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$
3. 确定拒绝域：根据显著性水平$\alpha=0.05$和自由度$n-1=8$，查卡方分布表得到临界值$X_{\alpha}^2(8)=15.507$，拒绝域为$X^2 \geq 15.507$。
4. 计算统计量并比较：代入样本数据计算$X^2$值，判断是否落在拒绝域内。

破题关键：

• 单边检验的方向直接影响假设形式和拒绝域的位置。
• 卡方统计量的计算需注意样本方差与原假设方差的平方关系。

建立假设

• 原假设：$H_0: \sigma \leq 0.005$
• 备择假设：$H_1: \sigma > 0.005$

选择检验统计量

由于总体方差未知且服从正态分布，采用卡方检验统计量：
$X^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$
其中，$n=9$，$S=0.007$，$\sigma_0=0.005$。

确定拒绝域

显著性水平$\alpha=0.05$，自由度$n-1=8$，查卡方分布表得临界值：
$X_{0.05}^2(8) = 15.507$
拒绝域为：
$X^2 \geq 15.507$

计算统计量

代入数据计算：
$X^2 = \frac{(9-1) \cdot (0.007)^2}{(0.005)^2} = \frac{8 \cdot 0.000049}{0.000025} = \frac{0.000392}{0.000025} = 15.68$

结论

计算得$X^2=15.68$，大于临界值$15.507$，落入拒绝域，拒绝原假设，认为标准差显著偏大。