题目
【题目】某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005Ω,今在生产的一批导线中取样品9根,测得 s=0.007Ω ,设总体为正态分布,参数均未知.问在显著性水平 α=0.05 下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?
【题目】某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005Ω,今在生产的一批导线中取样品9根,测得 s=0.007Ω ,设总体为正态分布,参数均未知.问在显著性水平 α=0.05 下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?
题目解答
答案
【解析】解本题要求在显著性水平 α=0.05 下检验假设H_0 H_0:σ≤0.00 5, H_1:σ0.005采用3检验,取检验统计量为 X^2=((n-1)S^2)/(σ_0^2).今n=9, s^2=0.007^2 , α=0.05 ,X_a^2(n-1)=X_(0.)^2 (8)=15.507,拒绝域为X^2=((n-1)s^2)/(σ_0^2)≥X_a^2(n-1)=15.507 因3的 X^2=(8*(0.007)^2)/(0.005^2)=15.6815.507 =15.6815.507,落在拒绝域内,故在显著性水平 α=0 .05下拒绝 H_0 ,即认为这批导线的标准差显著地偏大
解析
步骤 1：确定假设
- 原假设 H_0: σ ≤ 0.005Ω
- 备择假设 H_1: σ > 0.005Ω
步骤 2：选择检验统计量
- 由于总体标准差未知，且样本量较小，采用卡方检验。
- 检验统计量为 X^2 = ((n-1)S^2)/(σ_0^2)，其中 n 为样本量，S^2 为样本方差，σ_0^2 为假设的标准差的平方。
步骤 3：计算检验统计量的值
- 样本量 n = 9，样本标准差 s = 0.007Ω，因此样本方差 S^2 = (0.007)^2 = 0.000049Ω^2。
- 假设的标准差 σ_0 = 0.005Ω，因此 σ_0^2 = (0.005)^2 = 0.000025Ω^2。
- 检验统计量的值为 X^2 = ((9-1) * 0.000049) / 0.000025 = (8 * 0.000049) / 0.000025 = 0.000392 / 0.000025 = 15.68。
步骤 4：确定拒绝域
- 在显著性水平 α=0.05 下，自由度为 n-1=8 的卡方分布的临界值为 X_a^2(n-1) = X_(0.05)^2(8) = 15.507。
- 拒绝域为 X^2 ≥ 15.507。
步骤 5：做出决策
- 计算得到的检验统计量的值 X^2 = 15.68 落在拒绝域内，即 15.68 > 15.507。
- 因此，在显著性水平 α=0.05 下，拒绝原假设 H_0，认为这批导线的标准差显著地偏大。
- 原假设 H_0: σ ≤ 0.005Ω
- 备择假设 H_1: σ > 0.005Ω
步骤 2：选择检验统计量
- 由于总体标准差未知，且样本量较小，采用卡方检验。
- 检验统计量为 X^2 = ((n-1)S^2)/(σ_0^2)，其中 n 为样本量，S^2 为样本方差，σ_0^2 为假设的标准差的平方。
步骤 3：计算检验统计量的值
- 样本量 n = 9，样本标准差 s = 0.007Ω，因此样本方差 S^2 = (0.007)^2 = 0.000049Ω^2。
- 假设的标准差 σ_0 = 0.005Ω，因此 σ_0^2 = (0.005)^2 = 0.000025Ω^2。
- 检验统计量的值为 X^2 = ((9-1) * 0.000049) / 0.000025 = (8 * 0.000049) / 0.000025 = 0.000392 / 0.000025 = 15.68。
步骤 4：确定拒绝域
- 在显著性水平 α=0.05 下，自由度为 n-1=8 的卡方分布的临界值为 X_a^2(n-1) = X_(0.05)^2(8) = 15.507。
- 拒绝域为 X^2 ≥ 15.507。
步骤 5：做出决策
- 计算得到的检验统计量的值 X^2 = 15.68 落在拒绝域内，即 15.68 > 15.507。
- 因此，在显著性水平 α=0.05 下，拒绝原假设 H_0，认为这批导线的标准差显著地偏大。