8. 求下列函数的极值点： (1)z=3axy-x^3-y^3(a>0); (2)z=x^2-xy+y^2-2x+y; (3)z=e^2x(x+y^2+2y).

考查要点：本题主要考查多元函数极值点的求解方法，包括求偏导找临界点和二阶导数检验法的应用。

解题思路：

1. 求偏导数：分别对函数求关于$x$和$y$的一阶偏导，并令其等于零，联立解方程组得到临界点。
2. 二阶导数检验：计算二阶偏导数，构造Hessian矩阵，通过行列式$D$和$f_{xx}$的符号判断临界点的性质（极大值、极小值或鞍点）。

关键点：

• 临界点的求解需准确解方程组。
• Hessian行列式的计算及符号判断是核心步骤。

第（1）题：$z=3axy-x^{3}-y^{3}$

求一阶偏导

$\begin{cases}f_x = 3ay - 3x^2 = 0 \\f_y = 3ax - 3y^2 = 0\end{cases}$

解方程组

由$f_x=0$得$y = \frac{x^2}{a}$，代入$f_y=0$得：
$3ax - 3\left(\frac{x^2}{a}\right)^2 = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = a$
对应解为$(0,0)$和$(a,a)$。

二阶导数检验

计算二阶偏导：
$f_{xx} = -6x, \quad f_{xy} = 3a, \quad f_{yy} = -6y$

• 在$(0,0)$处：$D = (-6 \cdot 0)(-6 \cdot 0) - (3a)^2 = -9a^2 < 0$，为鞍点。
• 在$(a,a)$处：$D = (-6a)(-6a) - (3a)^2 = 27a^2 > 0$，且$f_{xx} = -6a < 0$，为极大值点。

第（2）题：$z=x^{2}-xy+y^{2}-2x+y$

求一阶偏导

$\begin{cases}f_x = 2x - y - 2 = 0 \\f_y = -x + 2y + 1 = 0\end{cases}$

解方程组

解得临界点为$(1,0)$。

二阶导数检验

计算二阶偏导：
$f_{xx} = 2, \quad f_{xy} = -1, \quad f_{yy} = 2$

• 在$(1,0)$处：$D = (2)(2) - (-1)^2 = 3 > 0$，且$f_{xx} = 2 > 0$，为极小值点。

第（3）题：$z=e^{2x}(x+y^{2}+2y)$

求一阶偏导

$\begin{cases}f_x = e^{2x}(2x + 2y^2 + 4y + 1) = 0 \\f_y = e^{2x}(2y + 2) = 0\end{cases}$

解方程组

由$f_y=0$得$y = -1$，代入$f_x=0$得$x = \frac{1}{2}$，临界点为$\left(\frac{1}{2}, -1\right)$。

二阶导数检验

计算二阶偏导：
$f_{xx} = 2e^{2x}(2x + 2y^2 + 4y + 1) + 2e^{2x}, \quad f_{xy} = 4ye^{2x} + 4e^{2x}, \quad f_{yy} = 2e^{2x}$

• 在$\left(\frac{1}{2}, -1\right)$处：$D = (2e)(2e) - 0^2 = 4e^2 > 0$，且$f_{xx} = 2e > 0$，为极小值点。