设 X_1, X_2 是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f_1(x) 和 f_2(x)，分布函数分别为 F_1(x) 和 F_2(x)，则()。A. f_1(x)+ f_2(x) 必为密度函数B. F_1(x)cdot F_2(x) 必为分布函数C. F_1(x)+ F_2(x) 必为分布函数D. f_1(x)cdot f_2(x) 必为密度函数

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的基本性质，以及它们的组合形式是否满足相应函数的定义条件。

解题核心思路：

1. 密度函数需满足两个条件：非负且积分等于1；
2. 分布函数需满足三个条件：非递减、右连续，且极限在$x \to -\infty$时为0，$x \to +\infty$时为1；
3. 通过逐一验证选项是否满足上述条件，排除错误选项。

破题关键点：

• 选项A：两密度函数之和的积分不为1；
• 选项B：两分布函数的乘积满足分布函数的所有性质；
• 选项C：两分布函数之和的极限不符合要求；
• 选项D：两密度函数的乘积积分不为1。

选项A分析

关键点：概率密度函数的归一性。
若$f_1(x) + f_2(x)$是密度函数，则需满足$\int_{-\infty}^{+\infty} [f_1(x) + f_2(x)] \, dx = 1$。
但$\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x) \, dx = 1$且$\int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x) \, dx = 1$，因此总和为$1 + 1 = 2 \neq 1$，不满足归一性，排除A。

选项B分析

关键点：分布函数的定义。
$F_1(x) \cdot F_2(x)$需满足：

1. 非递减：因$F_1$和$F_2$均非递减，乘积也非递减；
2. 极限：当$x \to -\infty$时，$F_1(x) \cdot F_2(x) \to 0 \cdot 0 = 0$；当$x \to +\infty$时，$F_1(x) \cdot F_2(x) \to 1 \cdot 1 = 1$；
3. 右连续：分布函数的乘积保持右连续性。
   因此，满足分布函数定义，B正确。

选项C分析

关键点：分布函数的极限。
$F_1(x) + F_2(x)$在$x \to +\infty$时极限为$1 + 1 = 2 \neq 1$，不符合分布函数定义，排除C。

选项D分析

关键点：密度函数的归一性。
若$f_1(x) \cdot f_2(x)$是密度函数，则需满足$\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x) f_2(x) \, dx = 1$。
但$\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x) \, dx = 1$且$\int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x) \, dx = 1$，二者乘积的积分一般不等于1（例如$f_1(x) = f_2(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$时，积分结果为$\frac{1}{\sqrt{\pi}}$），不满足归一性，排除D。