14.设函数f(x)满足下列条件:(1)f(x+y)=f(x)cdot f(y),对一切x,y∈R;(2)f(x)在x=0处可导.试证明f(x)在R上处处可导,且f'(x)=f(x)·f'(0).

设函数 $ f(x) $ 满足条件：

1. $ f(x+y) = f(x) \cdot f(y) $ 对所有 $ x, y \in \mathbb{R} $；
2. $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处可导。

情况1：$ f(0) = 0 $
由条件1，令 $ x = y = 0 $，得 $ f(0) = f(0)^2 $，解得 $ f(0) = 0 $ 或 $ f(0) = 1 $。
若 $ f(0) = 0 $，则 $ f(x) = f(x+0) = f(x) \cdot f(0) = 0 $，即 $ f(x) $ 恒为0。
此时，$ f'(x) = 0 $，且 $ f'(0) = 0 $，满足 $ f'(x) = f(x) \cdot f'(0) $。

情况2：$ f(0) = 1 $
利用导数定义：
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \cdot f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$
由条件2，$ \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(0) $，且 $ f(0) = 1 $，故
$\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = f'(0)$
因此，$ f'(x) = f(x) \cdot f'(0) $。

结论：
无论 $ f(0) $ 为0还是1，$ f(x) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上处处可导，且 $ f'(x) = f(x) \cdot f'(0) $。

$\boxed{f'(x) = f(x) \cdot f'(0)}$