34.设随机变量X在区间(0,1)内服从均匀分布.-|||-(1)求 =(e)^x 的概率密度.-|||-(2)求 =-2ln x 的概率密度.

考查要点：本题主要考查概率密度的变量变换方法，涉及均匀分布的随机变量经过函数变换后的概率密度求解。

解题核心思路：

1. 确定Y的取值范围：根据X的范围，结合函数关系确定Y的可能取值区间。
2. 求分布函数：通过概率定义写出Y的分布函数$F_Y(y)$，转化为关于X的概率表达式。
3. 求导得到概率密度：对分布函数求导，并结合反函数的导数绝对值进行调整。

破题关键点：

• 严格单调性：确保函数$g(x)$在定义域内严格单调（可通过导数判断），从而保证反函数存在。
• 绝对值处理：在应用变换公式时，反函数的导数需取绝对值，避免概率密度出现负值。

第（1）题：求$Y=e^X$的概率密度

确定Y的取值范围

当$X \in (0,1)$时，$Y=e^X \in (1, e)$。

求分布函数$F_Y(y)$

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^X \leq y) = P(X \leq \ln y)$
当$0 < y < 1$时，$\ln y < 0$，故$F_Y(y)=0$；
当$1 \leq y \leq e$时，$F_Y(y) = F_X(\ln y) = \ln y$；
当$y > e$时，$F_Y(y)=1$。

求导得到概率密度

对$F_Y(y)$求导：
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{y}, & 1 < y < e, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

第（2）题：求$Y=-2\ln X$的概率密度

确定Y的取值范围

当$X \in (0,1)$时，$\ln X < 0$，故$Y=-2\ln X > 0$，即$Y \in (0, +\infty)$。

求分布函数$F_Y(y)$

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-2\ln X \leq y) = P(X \geq e^{-y/2})$
当$y \leq 0$时，$F_Y(y)=0$；
当$y > 0$时，$F_Y(y) = 1 - F_X(e^{-y/2}) = 1 - e^{-y/2}$。

求导得到概率密度

对$F_Y(y)$求导：
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-y/2}, & y > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$