题目
(9) lim _(xarrow +infty )dfrac (ln (1+dfrac {1)(x))}(arctan x)-|||-()
题目解答
答案
见答案
:limln(1+1/x)/arccotxx→∞=limln(1+1/x)/arctan(1/x)1/x→0（t→0时,ln(1+t)等价于t）=limln(1+t)/arctantt→0（t→0时,arctant等价于t）=limt/tt→0=lim1t→0=1
:limln(1+1/x)/arccotxx→∞=limln(1+1/x)/arctan(1/x)1/x→0（t→0时,ln(1+t)等价于t）=limln(1+t)/arctantt→0（t→0时,arctant等价于t）=limt/tt→0=lim1t→0=1
解析
步骤 1：等价无穷小替换
当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，因此 $\ln(1+\dfrac{1}{x})$ 可以用 $\dfrac{1}{x}$ 来替换，因为当 $t \rightarrow 0$ 时，$\ln(1+t)$ 等价于 $t$。
步骤 2：等价无穷小替换
当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\arctan x$ 可以用 $\arctan(\dfrac{1}{x})$ 来替换，因为 $\arctan x = \arctan(\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}})$。当 $t \rightarrow 0$ 时，$\arctan t$ 等价于 $t$。
步骤 3：计算极限
将上述替换代入原极限，得到 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac{1}{x}}{\arctan(\dfrac{1}{x})}$。当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，因此 $\arctan(\dfrac{1}{x})$ 可以用 $\dfrac{1}{x}$ 来替换，得到 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} = \lim _{x\rightarrow +\infty }1 = 1$。
当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，因此 $\ln(1+\dfrac{1}{x})$ 可以用 $\dfrac{1}{x}$ 来替换，因为当 $t \rightarrow 0$ 时，$\ln(1+t)$ 等价于 $t$。
步骤 2：等价无穷小替换
当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\arctan x$ 可以用 $\arctan(\dfrac{1}{x})$ 来替换，因为 $\arctan x = \arctan(\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}})$。当 $t \rightarrow 0$ 时，$\arctan t$ 等价于 $t$。
步骤 3：计算极限
将上述替换代入原极限，得到 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac{1}{x}}{\arctan(\dfrac{1}{x})}$。当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，因此 $\arctan(\dfrac{1}{x})$ 可以用 $\dfrac{1}{x}$ 来替换，得到 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} = \lim _{x\rightarrow +\infty }1 = 1$。