题目

n阶行列式1 1 1 1 .. 1 λ1-|||-λ2 0 0 0 ... 0 0-|||-D= .......... .........-|||-0 λ3 0 0 . 0 0-|||-=-|||-0 0 0 0 .. 0 0-|||-0 0 0 0 . λn 0（）A1 1 1 1 .. 1 λ1-|||-λ2 0 0 0 ... 0 0-|||-D= .......... .........-|||-0 λ3 0 0 . 0 0-|||-=-|||-0 0 0 0 .. 0 0-|||-0 0 0 0 . λn 0B1 1 1 1 .. 1 λ1-|||-λ2 0 0 0 ... 0 0-|||-D= .......... .........-|||-0 λ3 0 0 . 0 0-|||-=-|||-0 0 0 0 .. 0 0-|||-0 0 0 0 . λn 0C1 1 1 1 .. 1 λ1-|||-λ2 0 0 0 ... 0 0-|||-D= .......... .........-|||-0 λ3 0 0 . 0 0-|||-=-|||-0 0 0 0 .. 0 0-|||-0 0 0 0 . λn 0D1 1 1 1 .. 1 λ1-|||-λ2 0 0 0 ... 0 0-|||-D= .......... .........-|||-0 λ3 0 0 . 0 0-|||-=-|||-0 0 0 0 .. 0 0-|||-0 0 0 0 . λn 0

n阶行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccccc}1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & \lambda_{1} \\ \lambda_{2} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{3} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} & 0\end{array}\right|=$ （）

A $-\lambda_1\lambda_2...\lambda_n$

B $\lambda_1\lambda_2...\lambda_n$

C $\left(-1\right)^{1+n}\lambda_1\lambda_2...\lambda_n$

D $\left(-1\right)^n\lambda_1\lambda_2...\lambda_n$

题目解答

答案

将行列式按最后一列展开得到： $\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1& \cdots& 1& \lambda _1\\ \lambda _2& 0& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& \lambda _3& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots\\ 0& 0& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \cdots& \lambda _n& 0\\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{1+n}\lambda _1\left| \begin{matrix} \lambda _1& 0& \cdots& 0\\ 0& \lambda _2& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ 0& 0& \cdots& \lambda _n\\ \end{matrix} \right|$

$=\left(-1\right)^{1+n}\lambda_1\lambda_2...\lambda_n$

故答案为C。

解析

步骤 1：行列式展开
将行列式D按最后一列展开，得到一个(n-1)阶行列式。由于最后一列除了最后一个元素外，其余元素均为0，因此展开时只涉及最后一个元素${\lambda }_{n}$。

步骤 2：计算展开后的行列式
展开后的行列式为一个(n-1)阶行列式，其形式与原行列式相似，只是规模减小了1。继续按最后一列展开，直到得到一个1阶行列式，即${\lambda }_{1}$。

步骤 3：计算行列式的值
每次展开时，行列式的值乘以(-1)的幂次，幂次为展开元素的行号与列号之和减1。因此，最终的行列式值为${(-1)}^{1+n}{\lambda }_{1}{\lambda }_{2}\cdots {\lambda }_{n}$。