题目
9.某砖厂生产的砖其抗拉强度X服从正态分布N(μ,0.81).今从该厂产品中随机抽取6块，测得其抗拉强度分别为31.1，30.5，33.0，31.8，31.7，32.1.试检验这批砖的平均抗拉强度为32.5是否成立，取显著性水平α=0.05.
9.某砖厂生产的砖其抗拉强度X服从正态分布N(μ,0.81).今从该厂产品中随机抽取6块，测得其抗拉强度分别为
31.1，30.5，33.0，31.8，31.7，32.1.
试检验这批砖的平均抗拉强度为32.5是否成立，取显著性水平α=0.05.
题目解答
答案
1. **假设检验**：
$H_0: \mu = 32.5$（原假设），$H_1: \mu \neq 32.5$（备择假设）。
2. **计算样本均值**：
$\overline{x} = \frac{1}{6}(31.1 + 30.5 + 33.0 + 31.8 + 31.7 + 32.1) = 31.7$。
3. **计算检验统计量**：
$Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{31.7 - 32.5}{0.9 / \sqrt{6}} \approx -2.18$。
4. **确定临界值**：
对于 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
5. **比较并结论**：
$|Z| \approx 2.18 > 1.96$，拒绝 $H_0$。
**答案**：
在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，拒绝原假设，认为平均抗拉强度不为32.5。
解析
步骤 1：假设检验
- 原假设 $H_0: \mu = 32.5$，即这批砖的平均抗拉强度为32.5。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 32.5$，即这批砖的平均抗拉强度不为32.5。
步骤 2：计算样本均值
- 样本均值 $\overline{x} = \frac{1}{6}(31.1 + 30.5 + 33.0 + 31.8 + 31.7 + 32.1) = 31.7$。
步骤 3：计算检验统计量
- 检验统计量 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{31.7 - 32.5}{0.9 / \sqrt{6}} \approx -2.18$。
步骤 4：确定临界值
- 对于 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
步骤 5：比较并结论
- $|Z| \approx 2.18 > 1.96$，拒绝 $H_0$。
- 因此，在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，拒绝原假设，认为平均抗拉强度不为32.5。
- 原假设 $H_0: \mu = 32.5$，即这批砖的平均抗拉强度为32.5。
- 备择假设 $H_1: \mu \neq 32.5$，即这批砖的平均抗拉强度不为32.5。
步骤 2：计算样本均值
- 样本均值 $\overline{x} = \frac{1}{6}(31.1 + 30.5 + 33.0 + 31.8 + 31.7 + 32.1) = 31.7$。
步骤 3：计算检验统计量
- 检验统计量 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{31.7 - 32.5}{0.9 / \sqrt{6}} \approx -2.18$。
步骤 4：确定临界值
- 对于 $\alpha = 0.05$，双侧检验的临界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
步骤 5：比较并结论
- $|Z| \approx 2.18 > 1.96$，拒绝 $H_0$。
- 因此，在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，拒绝原假设，认为平均抗拉强度不为32.5。