题目

11.（判断题，6.2分）设三阶矩阵A=}0&0&20&5&08&0&0A 对B 错

11.（判断题，6.2分） 设三阶矩阵$A=\begin{pmatrix}0&0&2\\0&5&0\\8&0&0\end{pmatrix}$的逆矩阵$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&\frac{1}{8}\\0&\frac{1}{5}&0\\\frac{1}{2}&0&0\end{pmatrix}$ A 对 B 错

题目解答

答案

计算矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 8 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ 的行列式： \[ \det(A) = 0 \cdot (5 \cdot 0 - 0 \cdot 0) - 0 \cdot (0 \cdot 0 - 8 \cdot 0) + 2 \cdot (0 \cdot 0 - 8 \cdot 5) = 2 \cdot (-40) = -80 \] 由于 $\det(A) \neq 0$，矩阵 $A$ 可逆。 接下来，计算 $A^{-1}$。根据公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$，先求伴随矩阵 $\text{adj}(A)$。 计算余子式： \[ C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = -40 \] \[ C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = -16, \quad C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = 0 \] \[ C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -10, \quad C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 0 \] 伴随矩阵为： \[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -10 \\ 0 & -16 & 0 \\ -40 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 因此， \[ A^{-1} = \frac{1}{-80} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -10 \\ 0 & -16 & 0 \\ -40 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{8} \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 与题目给出的逆矩阵一致，故答案为正确。 答案：A 对

解析

考查要点：本题主要考查三阶矩阵的逆矩阵计算，涉及行列式的求解、余子式与伴随矩阵的概念，以及逆矩阵的验证方法。

解题核心思路：

  1. 判断矩阵是否可逆：计算矩阵$A$的行列式$\det(A)$，若$\det(A) \neq 0$，则矩阵可逆。
  2. 计算伴随矩阵：通过求余子式并构造余子式矩阵，再转置得到伴随矩阵$\text{adj}(A)$。
  3. 验证逆矩阵：利用公式$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$，计算并与题目给出的逆矩阵对比。

破题关键点：

  • 行列式的计算：利用第一行展开简化计算。
  • 余子式的符号处理：注意余子式$C_{ij}$的符号为$(-1)^{i+j}$。
  • 伴随矩阵的转置操作：余子式矩阵转置后才是伴随矩阵。

步骤1：计算行列式$\det(A)$

按第一行展开：
$\det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix}5 & 0 \\ 0 & 0\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}0 & 0 \\ 8 & 0\end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix}0 & 5 \\ 8 & 0\end{vmatrix} = 2 \cdot (0 \cdot 0 - 5 \cdot 8) = -80$
结论：$\det(A) = -80 \neq 0$，矩阵可逆。

步骤2：计算余子式矩阵

逐个计算余子式$C_{ij}$：
$\begin{aligned}C_{11} &= (-1)^{1+1} \cdot 0 = 0, \quad C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot 0 = 0, \quad C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot (-40) = -40, \\C_{21} &= (-1)^{2+1} \cdot 0 = 0, \quad C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot (-16) = -16, \quad C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot 0 = 0, \\C_{31} &= (-1)^{3+1} \cdot (-10) = -10, \quad C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot 0 = 0, \quad C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot 0 = 0.\end{aligned}$

步骤3：构造伴随矩阵$\text{adj}(A)$

余子式矩阵转置后为：
$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}0 & 0 & -10 \\0 & -16 & 0 \\-40 & 0 & 0\end{pmatrix}$

步骤4：计算逆矩阵$A^{-1}$

$A^{-1} = \frac{1}{-80} \cdot \text{adj}(A) = \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{1}{8} \\0 & \frac{1}{5} & 0 \\\frac{1}{2} & 0 & 0\end{pmatrix}$

结论：计算结果与题目给出的逆矩阵一致，故答案为正确。