题目
计算题1.计算定积分int_(1)^3e^2xdx的值.(3分)
计算题
1.计算定积分$\int_{1}^{3}e^{2x}dx$的值.(3分)
题目解答
答案
计算定积分 $\int_{1}^{3} e^{2x} \, dx$。
首先，找到被积函数 $e^{2x}$ 的原函数。令 $u = 2x$，则 $du = 2 \, dx$，即 $dx = \frac{1}{2} \, du$。代入得：
\[
\int e^{2x} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x} + C
\]
因此，原函数为 $\frac{1}{2} e^{2x}$。
应用牛顿-莱布尼茨公式：
\[
\int_{1}^{3} e^{2x} \, dx = \left. \frac{1}{2} e^{2x} \right|_{1}^{3} = \frac{1}{2} (e^{6} - e^{2})
\]
最终结果为：
\[
\boxed{\frac{1}{2} (e^6 - e^2)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是对指数函数的积分方法以及牛顿-莱布尼茨公式的应用。
解题核心思路：
- 寻找原函数：被积函数为$e^{2x}$，需通过换元法求出其原函数。
- 应用牛顿-莱布尼茨公式：将原函数代入上下限$3$和$1$，计算差值即可得到定积分的值。
破题关键点：
- 换元法的正确应用：令$u=2x$，将积分转化为关于$u$的简单指数函数积分。
- 积分结果的还原：换元后需将变量还原为$x$，确保最终表达式正确。
步骤1：求原函数
被积函数为$e^{2x}$，令$u=2x$，则$du=2dx$，即$dx=\frac{1}{2}du$。
代入积分式：
$\int e^{2x} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x} + C$
步骤2：应用牛顿-莱布尼茨公式
原函数为$\frac{1}{2} e^{2x}$，代入上下限$3$和$1$：
$\int_{1}^{3} e^{2x} dx = \left. \frac{1}{2} e^{2x} \right|_{1}^{3} = \frac{1}{2} e^{6} - \frac{1}{2} e^{2} = \frac{1}{2} (e^{6} - e^{2})$