设A= (} 1& -1& 0 0& 1& -1 -1& 0& 1 ) .,AX=2X+A,求X。.

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及矩阵的线性运算、逆矩阵的概念及计算。

解题核心思路：将方程整理为形如$(A - 2E)X = A$，若矩阵$A - 2E$可逆，则解为$X = (A - 2E)^{-1}A$。关键在于验证矩阵$A - 2E$的可逆性，并正确计算其逆矩阵。

破题关键点：

1. 方程变形：将原方程$AX = 2X + A$移项为$(A - 2E)X = A$。
2. 可逆性判断：计算矩阵$A - 2E$的行列式，确认其非零，从而可逆。
3. 逆矩阵计算：通过行变换法求逆矩阵，并最终计算乘积得到$X$。

步骤1：方程变形
原方程$AX = 2X + A$可变形为：
$(A - 2E)X = A$
其中$E$为单位矩阵。

步骤2：构造矩阵$A - 2E$
计算得：
$A - 2E = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

步骤3：验证可逆性
计算行列式$\det(A - 2E)$：
$\det(A - 2E) = -1 \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = -2 \neq 0$
因此，矩阵$A - 2E$可逆。

步骤4：求逆矩阵$(A - 2E)^{-1}$
通过行变换法求得：
$(A - 2E)^{-1} = \begin{pmatrix} -0.5 & 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & -0.5 & 0.5 \\ 0.5 & -0.5 & -0.5 \end{pmatrix}$

步骤5：计算$X$
$X = (A - 2E)^{-1}A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$