题目
7. 填空题在次品率为(1)/(6)的一大批产品中，任意抽取300件产品。利用中心极限定理近似计算抽取产品中次品数在40与60之间的概率为_____(Φ(1.55)=0.9394)(保留小数点后四位)
7. 填空题
在次品率为$\frac{1}{6}$的一大批产品中，任意抽取300件产品。利用中心极限定理近似计算抽取产品中次品数在40与60之间的概率为_____(Φ(1.55)=0.9394)(保留小数点后四位)
题目解答
答案
设 $X$ 为 300 件产品中的次品数，$X \sim B(300, \frac{1}{6})$。
期望 $E(X) = 50$，方差 $D(X) = \frac{250}{6}$。
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(50, \frac{250}{6})$。
标准化得：
\[
P(40 < X < 60) \approx P\left(-1.5492 < Z < 1.5492\right) \approx 2\Phi(1.55) - 1
\]
已知 $\Phi(1.55) = 0.9394$，则：
\[
P(40 < X < 60) \approx 2 \times 0.9394 - 1 = 0.8788
\]
**答案：** $\boxed{0.8788}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 为 300 件产品中的次品数，$X$ 服从二项分布 $B(300, \frac{1}{6})$。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $E(X) = np = 300 \times \frac{1}{6} = 50$，方差 $D(X) = np(1-p) = 300 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{250}{6}$。
步骤 3：利用中心极限定理
由中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$X$ 近似服从正态分布 $N(50, \frac{250}{6})$。
步骤 4：标准化
将 $X$ 标准化为标准正态分布 $Z$，即 $Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}$。
步骤 5：计算概率
计算 $P(40 < X < 60)$，即 $P\left(\frac{40 - 50}{\sqrt{\frac{250}{6}}} < Z < \frac{60 - 50}{\sqrt{\frac{250}{6}}}\right)$。
步骤 6：利用标准正态分布表
查表得 $\Phi(1.55) = 0.9394$，计算 $P(40 < X < 60) \approx 2\Phi(1.55) - 1$。
设 $X$ 为 300 件产品中的次品数，$X$ 服从二项分布 $B(300, \frac{1}{6})$。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $E(X) = np = 300 \times \frac{1}{6} = 50$，方差 $D(X) = np(1-p) = 300 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{250}{6}$。
步骤 3：利用中心极限定理
由中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$X$ 近似服从正态分布 $N(50, \frac{250}{6})$。
步骤 4：标准化
将 $X$ 标准化为标准正态分布 $Z$，即 $Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}$。
步骤 5：计算概率
计算 $P(40 < X < 60)$，即 $P\left(\frac{40 - 50}{\sqrt{\frac{250}{6}}} < Z < \frac{60 - 50}{\sqrt{\frac{250}{6}}}\right)$。
步骤 6：利用标准正态分布表
查表得 $\Phi(1.55) = 0.9394$，计算 $P(40 < X < 60) \approx 2\Phi(1.55) - 1$。