题目
4.样本X1,X2,···Xn来自总体 sim N(0,1) , overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) , ^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2, 则下-|||-列结论正确的是 ()-|||-A. overline (X)sim N(0,1) B. overline (X)sim N(0,1)-|||-C.之X1^2~x^2(n) D. dfrac (overline {X)}(S)sim t(n-1)-|||-i=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解样本均值和样本方差的分布
样本均值 $\overline{X}$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的样本的均值，因此 $\overline{X}$ 也服从正态分布，但其均值为0，方差为 $\frac{1}{n}$。即 $\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。
步骤 2：理解样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的样本的方差，因此 $(n-1)S^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 3：理解样本均值与样本方差的比值的分布
根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 与样本方差 $S$ 的比值 $\frac{\overline{X}}{S}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $\frac{\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$。
步骤 4：验证选项
A. $n\overline{X} \sim N(0,1)$，不正确，因为 $n\overline{X}$ 的方差为 $n \times \frac{1}{n} = 1$，但均值为0，所以 $n\overline{X} \sim N(0,1)$。
B. $\overline{X} \sim N(0,1)$，不正确，因为 $\overline{X}$ 的方差为 $\frac{1}{n}$，所以 $\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。
C. $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$，正确，因为 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布，所以 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布。
D. $\frac{\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$，正确，因为 $\frac{\overline{X}}{S}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
样本均值 $\overline{X}$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的样本的均值，因此 $\overline{X}$ 也服从正态分布，但其均值为0，方差为 $\frac{1}{n}$。即 $\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。
步骤 2：理解样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 是正态分布 $N(0,1)$ 的样本的方差，因此 $(n-1)S^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。
步骤 3：理解样本均值与样本方差的比值的分布
根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 与样本方差 $S$ 的比值 $\frac{\overline{X}}{S}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，即 $\frac{\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$。
步骤 4：验证选项
A. $n\overline{X} \sim N(0,1)$，不正确，因为 $n\overline{X}$ 的方差为 $n \times \frac{1}{n} = 1$，但均值为0，所以 $n\overline{X} \sim N(0,1)$。
B. $\overline{X} \sim N(0,1)$，不正确，因为 $\overline{X}$ 的方差为 $\frac{1}{n}$，所以 $\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。
C. $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$，正确，因为 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布，所以 $\sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布。
D. $\frac{\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$，正确，因为 $\frac{\overline{X}}{S}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。