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数学
题目

A为n阶方阵,若非零向量∞, 满足 ∞,, 则( )A A 不满秩 B A 的列向量组线性无关 C A 的行向量组线性无关 D A 的行向量组中任意一个向量均可以由其余向量线性表出

A为n阶方阵,若非零向量 满足 , 则( )

A A 不满秩 

B A 的列向量组线性无关 

C A 的行向量组线性无关 

D A 的行向量组中任意一个向量均可以由其余向量线性表出

题目解答

答案

由题设可知A为n阶方阵,且非零向量 满足 ,则A 的行(列)向量组线性相关,

且根据结论:若向量组线性相关,则向量组的秩小于向量的个数;可知矩阵A不满秩;

故答案为A。

解析

步骤 1:理解题意
题目给出一个n阶方阵A和一个非零向量B,满足$AB=0$。这意味着A乘以B的结果是零向量。我们需要根据这个条件判断A的性质。

步骤 2:分析矩阵A的性质
由于$AB=0$,且B是非零向量,这意味着A的列向量组线性相关。因为如果A的列向量组线性无关,那么A乘以任何非零向量的结果都不会是零向量。因此,A的列向量组线性相关,进而A的行向量组也线性相关。

步骤 3:判断选项
A. A不满秩:由于A的行向量组线性相关,所以A的秩小于n,即A不满秩。
B. A的列向量组线性无关:与步骤2的分析矛盾,因为A的列向量组线性相关。
C. A的行向量组线性无关:与步骤2的分析矛盾,因为A的行向量组线性相关。
D. A的行向量组中任意一个向量均可以由其余向量线性表出:由于A的行向量组线性相关,所以至少有一个行向量可以由其余行向量线性表出,但不一定任意一个行向量都可以由其余行向量线性表出。

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